Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света
Шрифт:
Народ кайова (США)
Североамериканские индейцы известны во всем мире благодаря знаменитым вестернам. В культуре белого человека люди считаются хозяевами земли, на которой живут, царями природы, которую они меняют, как им захочется. Мир и Вселенная в некотором роде находятся в распоряжении человека и должны подчиняться его желаниям. В культуре индейцев мир воспринимается совершенно иначе. С их точки зрения человек принадлежит миру и земле, а его отношения со Вселенной должны быть гармоничными и равноправными. Животные, холмы и долины, реки и озера — все наделено жизненной силой, которую следует уважать. Природа священна и заслуживает высочайшего почтения.
Значит ли это, что логика белого человека и логика индейца отличаются? Возможно, что в некоторых аспектах это
С. повстречался с неизвестным Икс. Тот сказал С.:
— Я тебя не знаю. Но я о тебе слышал. Ты — тот, кто всех обманывает.
— Да, это я. Но я оставил снадобья дома и не могу обмануть тебя.
— И что с того? Если ты обманщик, то можешь обмануть меня и без твоих снадобий.
— Нет, без них не могу. Были бы они у меня с собой, я бы обманул тебя. Если хочешь, одолжи мне коня, я отправлюсь на поиски, найду снадобья, вернусь и обману тебя.
— Я одолжу тебе коня. Но ты должен вернуться со снадобьями.
С. вскочил на коня и поскакал вдаль. Отъехав подальше, он незаметно ударил коня, чтобы тот остановился.
С. вернулся к Иксу и сказал:
— Твой конь не хочет скакать. Быть может, он меня боится? Одолжи-ка мне свою шляпу.
Икс одолжил ему шляпу, но конь вновь остановился. Тогда С. сказал Иксу:
— Этот конь меня боится. Дай-ка мне твою куртку.
Затем С. таким же манером выпросил у индейца попону и кнут. Отъехав подальше, С. обернулся и сказал Иксу:
— Я забрал все твои вещи. Я уже обманул тебя, и мне не нужно никакого снадобья.
Этот рассказ вполне можно считать лекцией по логике. Проанализируем некоторые выражения с точки зрения формальной логики. Начнем с того, что дадим определение обманщику. Если лжец — это тот, кто никогда не говорит правду, то обманщик иногда говорит правду, а иногда — нет. С. говорит правду, когда признается, что обманывает всех, но лжет, когда говорит, что ему нужно снадобье и что он оставил его дома.
Противоречит ли это тому, что С. говорит дальше, то есть что без снадобий он не может обманывать? Это логическая импликация:
р: нет снадобья => q: не могу обманывать.
Составив таблицу истинности для этой импликации, мы увидим, что ее результатом всегда будет «истина», за исключением одного случая — когда предпосылка верна (1), а следствие ложно (0).
Икс, собеседник С., по-видимому, знает об этом, когда говорит, что для обмана не нужно никакого снадобья, то есть импликация, выраженная С., ложна. В этом и состоит суть рассказа и его логики. С., тем не менее, настаивает, что без снадобий он не может обманывать. Доверчивость Икса становится причиной дальнейших событий.
Симметрия проявляется не только в том, что можно увидеть. Она неявно присутствует и в жизни общества, особенно в отношениях родства или свойства. Равенство людей, связанных родственными отношениями, нельзя понять без симметрии. Отсутствие симметрии в отношениях между родителями и детьми определяет их социальное неравенство. Если А — отец или мать В, то В не может быть отцом или матерью А. Для братьев и сестер подобное отношение не выполняется: если X — брат или сестра Y, то Y — брат или сестра X. Братья и сестры принадлежат к одному и тому же поколению, а следовательно, их предки и остальные члены общества, по крайней мере предположительно, должны обращаться с ними одинаково: в равной мере предоставлять им приют, питание и поддержку, обучать, наделять их правами и обязанностями.
В академической математике отношения изучаются потому, что на их основе определяются социальные классы. Члены класса
А ~ A?
Нет, так как человек не может быть старше самого себя. Это отношение не обладает рефлексивностью. Если субъект А связан с субъектом В, то связан ли В с А?
Иными словами, если А ~ В, то В ~ А?
Это также неверно, так как если «А старше В», то не может быть, что «В старше А». Следовательно, это отношение не является симметричным. Если субъект А связан отношением с В, а тот — с субъектом С, что можно сказать об отношении между первым и третьим субъектами? Верно ли, что если А ~ В и В ~ С, то А ~ С?
На этот раз ответ — да, так как если «А старше В» и «В старше С», то «А старше С», таким образом, отношение обладает транзитивностью. Можно сделать вывод: отношение «старше, чем» не является рефлексивным и симметричным, но обладает свойством транзитивности.
Пример рефлексивного, симметричного и транзитивного отношения — отношение «быть одного возраста с». Оно очевидно обладает рефлексивностью, так как любой человек будет одного возраста с самим собой. Оно симметрично, так как если А одного возраста с В, то В одного возраста с А. Оно также транзитивно: если А одного возраста с В, а В одного возраста с С, то А и С одного возраста.
Большинство отношений, обладающих рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью, являются отношениями эквивалентности, поэтому совокупности субъектов или элементов, связанных такими отношениями, называются классами эквивалентности.
Классы эквивалентности — это то, с чем каждый день имеют дело все люди (хотя при этом они используют не термины, а обычные слова). Когда мы говорим «яблоко», то имеем в виду вид фруктов, но говорим о нем как о классе эквивалентности на множестве всех фруктов. Если мы говорим «ранетка», то имеем в виду класс эквивалентности на множестве яблок. «Является яблоком» и «является ранеткой» — отношения эквивалентности на множестве фруктов и яблок соответственно.
Существуют ли отношения эквивалентности среди родственных связей? В следующей таблице приведены свойства, которыми обладают отношения кровного родства и свойства (выделены серым цветом). Пол людей в таблице не учитывается, то есть отношения «является братом» и «является сестрой» равнозначны.
Так как никакое из этих отношений не обладает всеми тремя свойствами, то ни одно из них не является отношением эквивалентности. Ближайший кандидат — отношение «быть братом»: оно симметрично и транзитивно, но не обладает рефлексивностью.