Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Шрифт:

7.13. Докажите, что из условия

следует

(а + b + с)^3 = 27аbс.

7.14. Квадратный трехчлен 24х^2 + 48x + 26 есть разность кубов двух линейных функций с положительными коэффициентами. Найдите эти функции.

Глава 8

Делимость многочленов.

Теорема Безу. Целые уравнения

Многочлен S(x)

называется частным, а многочлен R(x) — остатком от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x), если равенство

P(x) = Q(x) · S(x) + R(x)

является тождеством и степень многочлена R(x) меньше степени многочлена Q(x).

Обобщенная теорема Виета. Для корней х1, х2, ..., хn уравнения

а0хn + a1xn - 1 + ... + аn - 1x + аn = 0

имеют место формулы:

,

,

.

Для уравнения a0xn + a1xn - 1 + ... + аn = 0 с целыми коэффициентами а0, а1, ... , аn верна теорема: если уравнение имеет рациональный корень p/q , то p числитель является делителем свободного члена аn, а знаменатель qделителем коэффициента а0.

В частности, если а0 = 1, то уравнение может иметь только такие целые корни, которые являются делителями свободного члена аn.

8.1.

Решите уравнение

(x - 4,5)4 + (x - 5,5)4 = 1.

8.2. Решите уравнение

(4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4.

8.3. Докажите, что уравнение

x^2 - 3у^2 = 17

не имеет решений в целых числах.

8.4. Найдите все целые решения уравнения

x^2 - 6 + 13у^2 = 100.

8.5. Найдите остаток от деления многочлена x99 + x^3 + 10x + 5 на многочлен x^2 + 1.

8.6. Найдите все целочисленные решения уравнения

2x^2у^2 + у^2 - 6x^2 - 12 = 0.

8.7. В уравнении

x4 + аx^3 + bx^2 + 6x + 2 = 0

один из корней равен 3 + 1. Найдите остальные корни уравнения, если а и b — рациональные числа.

8.8. При каких значениях а оба корня уравнения

x^2 - (а + 1)x + а + 4 = 0

отрицательны?

8.9. Найдите соотношение между а, b и с, если корни уравнения

x^3 + аx^2 + bx + с = 0

образуют геометрическую прогрессию.

8.10. Известно, что уравнение x^3 + px + q = 0 имеет корни 1, 2, 3. Выразите сумму 1^2 + 2^2 + 3^2 через p и q.

8.11. При каких а и трехчлен х^3 + ax + 1 делится на двучлен x - без остатка и частное от деления при всех x больше нуля?

8.12. Остатки от деления многочлена относительно x на x - 2 и x - 3 равны соответственно 5 и 7. Найдите остаток от деления этого многочлена на (x - 2)(x - 3).

8.13. Найдите все действительные значения p и q, при которых х4 + 1 делится на x^2 + рх + q.

Поделиться:
Популярные книги

Последняя Арена 7

Греков Сергей
7. Последняя Арена
Фантастика:
рпг
постапокалипсис
5.00
рейтинг книги
Последняя Арена 7

Пенсия для морского дьявола 4

Чиркунов Игорь
4. Первый в касте бездны
Фантастика:
попаданцы
5.40
рейтинг книги
Пенсия для морского дьявола 4

#Бояръ-Аниме. Газлайтер. Том 11

Володин Григорий Григорьевич
11. История Телепата
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
#Бояръ-Аниме. Газлайтер. Том 11

Сумеречный Стрелок 2

Карелин Сергей Витальевич
2. Сумеречный стрелок
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Сумеречный Стрелок 2

Совершенный: пробуждение

Vector
1. Совершенный
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
5.00
рейтинг книги
Совершенный: пробуждение

Новая мама в семье драконов

Смертная Елена
2. В доме драконов
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Новая мама в семье драконов

Возвышение Меркурия. Книга 5

Кронос Александр
5. Меркурий
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Возвышение Меркурия. Книга 5

Бастард Императора. Том 4

Орлов Андрей Юрьевич
4. Бастард Императора
Фантастика:
попаданцы
аниме
фэнтези
фантастика: прочее
5.00
рейтинг книги
Бастард Императора. Том 4

Господин следователь. Книга 2

Шалашов Евгений Васильевич
2. Господин следователь
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Господин следователь. Книга 2

Провинциал. Книга 4

Лопарев Игорь Викторович
4. Провинциал
Фантастика:
космическая фантастика
рпг
аниме
5.00
рейтинг книги
Провинциал. Книга 4

Сбой Системы Мимик! Академия

Северный Лис
2. Сбой Системы!
Фантастика:
боевая фантастика
юмористическая фантастика
5.71
рейтинг книги
Сбой Системы Мимик! Академия

Кодекс Охотника. Книга ХХ

Винокуров Юрий
20. Кодекс Охотника
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Охотника. Книга ХХ

Хозяйка дома в «Гиблых Пределах»

Нова Юлия
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.75
рейтинг книги
Хозяйка дома в «Гиблых Пределах»

Вторая жизнь майора. Цикл

Сухинин Владимир Александрович
Вторая жизнь майора
Фантастика:
героическая фантастика
боевая фантастика
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Вторая жизнь майора. Цикл