Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Напомним определение тождества, которым обычно пользуются в средней школе.

Тождеством называется равенство, справедливое при всех значениях входящих в него букв, при которых обе его части имеют смысл.

Нетрудно заметить, что это определение объединяет понятия тождества и неабсолютного тождества в одно. Чтобы подчеркнуть, что мы пользуемся другим определением тождества, будем иногда вместо термина тождество употреблять термин абсолютное тождество.

Упражнения [2]

Какие из следующих равенств являются абсолютными тождествами, а какие — неабсолютными? Приведите доказательство сделанного

вами вывода.

1. sin^2 x + cos^2 x = 1,

2. tg x = ^{sin x}/_{cos x}

3. tg x = ¹/_{ctg x}

4. sec x = ¹/_{cos x}

2

Ответы к упражнениям 1—22 см. на с. 326—328.

5. sec x cos x = 1,

6. sec x - ¹/_{cos x} = 0,

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. lg xy = lg |x| + lg |y|,

15. lg x^2 = 2 lg x,

16. lg x^2 = 2 lg |x|.

Уравнение, корни уравнения, равносильность. Когда мы говорим, что равенство

аx^2 + bx + с = 0 (1)

является уравнением относительно буквы x, то подразумеваем, что для фиксированных а, b и с (эти буквы являются параметрами уравнения) нужно отыскать значения x, обращающие (1) в истинное числовое равенство.

Другими словами, предполагают, что для букв а, b и с выбраны определенные, хотя и произвольные, значения, в то время как буква x, которой обозначено неизвестное, остается «свободной». Вместо нее можно подставлять различные числа, в результате чего возникнут либо истинные, либо ложные числовые равенства. Равенство (1) выполняет роль «формы» (или «схемы») уравнений, которая превращается в уравнение,

как только мы остановим свой выбор на конкретных значениях параметров. Если выбор значений параметров уже сделан, то полученное уравнение можно рассматривать как «форму» числовых равенств — ложных или истинных.

Часто представляют себе уравнение как равенство двух функций (в частности, как равенство функции нулю), а не как форму. Такое представление недостаточно точно, так как может привести к потере корней.

Например, уравнение

x^2x = 1 (2)

имеет корни x₁ = 1 и x₂ = -1, в то время как функция x^2x определена только при положительных x.

Если же уравнение (2) мы рассматриваем как форму, порождающую числовые равенства, то при x = -1 слева получим выражение (-1)^{– 2}, которое имеет смысл и равно 1.

Итак, уравнением относительно неизвестного x называется форма числовых равенств, которая превращается в истинное или ложное числовое равенство при подстановке вместо буквы x какого-нибудь числа, взятого из рассматриваемой области чисел. Приведем еще несколько определений.

Пусть x, у, z, ... — неизвестные в уравнении

f(x, у, z, ...) = 0. (3)

Набор значений неизвестных [3]

называется решением уравнения (3), если

f(а, b, с, ...) = 0 (3')

3

Для краткости равенства можно располагать в строку или писать (x, y, z, ...) = (а, b, с, ...).

является истинным числовым равенством.

Решение уравнения с одним неизвестным называют также корнем этого уравнения.

Корнем уравнения 3x^2 + 2x - 1 = 0 является число x = -1, решением уравнения 2у^2 - 3xу + x^2 = 0 является система чисел

Решить уравнение — значит, найти все его решения или доказать, что оно не имеет решений.

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Другими словами, любое решение первого уравнения является также решением второго уравнения и, обратно, любое решение второго уравнения является также решением первого уравнения.

Вообще говоря, понятие равносильности тесно связано с определенной областью чисел. Так, уравнения x - 1 = 0 и (x - 1)(x^2 - 3) = 0 равносильны в области целых чисел и неравносильны в области действительных чисел.