Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

cos x + tg x - tg x = 0 (4'')

после уничтожения подобных членов принимает вид

cos x = 0. (5'')

Корнями уравнения (5'') будут числа x = /₂ + k. Но ни одно из них не удовлетворяет уравнению (4''), так как tg x перестает существовать, когда cos x = 0.

Итак, теорема доказана.

Несколько уравнений могут образовать систему или совокупность.

Говорят

о системе уравнений, если требуется найти все решения, общие для всех уравнений, входящих в систему.

Если же нужно найти все такие решения, которые удовлетворяют хотя бы одному из нескольких уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют совокупность.

Систему уравнений обычно записывают в столбик и ставят сбоку фигурную скобку — знак системы; совокупность уравнений, как правило, записывается в строку. Если же совокупность уравнений удобнее записать в столбик, то слева ставят квадратную скобку — знак совокупности.

Если мы рассмотрим совокупность двух уравнений:

x^2 - x - 2 = 0 и x^2 - 2x - 3 = 0,

то корни первого: x₁ = 2, x₂ = -1 нужно объединить с корнями второго: x₁ = 3, x₂ = -1. Получим решение совокупности:

x₁ = 2, x₂ = -1, x₃ = 3.

Если же мы рассмотрим систему

то из корней первого уравнения нужно выбрать те, которые удовлетворяют и второму уравнению системы. Получим только одно решение системы: x = -1.

Уравнение

f(x) · (x) = 0 (6)

называется распадающимся.

Теорема 2. Уравнение (6) равносильно совокупности двух систем:

(7)

Доказательство. Если x = а — корень уравнения (6), то f(а) и (а) существуют и либо f(а) = 0, либо (а) = 0 (случай, когда оба сомножителя одновременно равны нулю нами из рассмотрения не исключен). Следовательно, одна из систем (7) удовлетворяется при x = а.

Пусть теперь x = а — корень совокупности (7). Если при x = а удовлетворяется либо первая, либо вторая система, то и в том и в другом случае f(x)

· (x) = 0, т. е. x = а — корень уравнения (6).

Упражнения

Докажите следующие теоремы о равносильности уравнений.

17. Если к обеим частям уравнения

f(x) = (x)

прибавить выражение (x), то в случае, когда (x) имеет смысл при всяком x, получится равносильное уравнение, в противном случае могут быть потеряны корни.

18. Уравнения

f(x) + (x) - (x) = (x)

и

f(x) = (x)

в случае, когда (x) имеет смысл при всяком x, равносильны; в противном случае второе уравнение является следствием первого.

19. Если в уравнении

(8)

отбросить знаменатель, то получится уравнение

f(x) = (x),

являющееся следствием данного уравнения.

19а. Уравнение (8) равносильно системе

(8а)

20. Если обе части уравнения f(x) = (x) возвести в квадрат, то полученное уравнение

[f(x)]^2 = [(x)]^2 (9)

является следствием данного уравнения. Уравнение (9) равносильно совокупности двух уравнений:

f(x) = (x), f(x) = -(x).

21. Чему равносильна система

22. Докажите, что следствием уравнения

является уравнение

при условии, что

Найдите действительные корни уравнений:

9.1. |x| - 2|x + 1| + 3|x + 2| = 0.

9.2. |x^2 - 9| + |x^2 - 4| = 5.