Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы, Ваховский Евгений Борисович

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

на обложку

Ваховский Евгений Борисович

Шрифт:

или системе неравенств

2а. Неравенство logf(x)(x) < 0 равносильно совокупности двух систем неравенств:

или системе неравенств

Решения

неравенств f(x)(x) < 1 и f(x)(x) > 1 в предположении, что допускаются отрицательные значения f(x), разобраны в задачах 10.29, 10.30, 10.32.

Запомнить эти свойства можно следующим образом: степень больше единицы, если основание и показатель степени одинаково расположены по отношению к единице и нулю соответственно (т. е. основание правее единицы и показатель правее нуля или основание левее единицы и показатель левее нуля); логарифм больше нуля, если основание и логарифмируемое выражение одинаково расположены по отношению к единице. Если расположение элементов, о которых шла речь, неодинаково, то степень меньше единицы, а логарифм меньше нуля.

10.1. Докажите, что если а + b = 2, где а и b — действительные числа, то а4 + b4 >= 2.

10.2. Докажите, что

(1 + a1)(1 + а2)...(1 + аn) >= 2n,

если а1, а2, ..., аn, аn — положительные числа и а1а2...аn = 1.

10.3. Дано а + b = с, где а, b, с — положительные числа. Докажите, что

а 2/3 + b 2/3 > с 2/3 .

10.4. Докажите, что -x^3 + x^2 <= 1/4 , если 0 <= x <= 1.

10.5. Докажите неравенство

при условии, что а + b + с = 1, а подкоренные выражения неотрицательны.

10.6. Докажите неравенство

(а + b)n < 2n(аn + bn),

если а > 0, b > 0, n —

натуральное число.

10.7. Докажите, что при а > b > 0 и p > q где а, b и с — положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.

10.8. Докажите, что

при n > 1.

10.9. Докажите неравенство

a/b + b/c + c/a > 3

где а, b и с — положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.

10.10. Докажите, что

а^2 + b^2 + с^2 >= 4S3,

где а, b, с — стороны, а S — площадь некоторого треугольника.

10.11. Докажите, что

(x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + 10 >= 1

при всех действительных значениях x.

10.12. Докажите, что если действительные числа x, у, z, не равные нулю, удовлетворяют равенствам:

x + у + z = xуz и x^2 = уz,

то

x^2 >= 3.

10.13. Докажите, что если x, у, z — действительные числа, удовлетворяющие равенствам

x + у + z = 5, уz + zx + xу = 8,