Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Глава 11

Логарифмические и показательные уравнения и системы

Если а^р, где а и p — действительные числа, существует, то

|a| = |а|^p (1)

По определению log_а N есть число, удовлетворяющее равенству

где а > 0

и а /= 1.

Формулы

(2)

называются формулами потенцирования. Первые две являются неабсолютными тождествами (см. введение к главе 9); при четных n и третья формула оказывается неабсолютным тождеством. Применение этих формул при решении уравнений (под применением формулы мы понимаем замену в уравнении выражения, стоящего в ее левой части, на выражение, стоящее справа) может привести только к приобретению посторонних решений.

Формулы (2), прочитанные справа налево, называются формулами логарифмирования. Чтобы формулы логарифмирования не приводили к потере решений, ими пользуются в виде

log_а хy = log_а |x| + log_а |y|;

log_а ^x/_y = log_а |x| - log_а |y|;

log_а x^2k = 2k log_а |x| (k — целое, k /= 0).

Следующие формулы позволяют переходить от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием:

Если в третьей из этих формул n = 2k, то в правой части нужно писать вместо основания а основание |а|.

Формула

(3)

является неабсолютным тождеством, так как ее правая часть перестает существовать при f(x) = 1, в то время как левая часть при соответствующих значениях x может существовать и обращаться в нуль.

Таким образом, применение формулы (3) может привести к потере решений, при которых f(x) = 1.

При решении уравнений вида

(x)^f(x) = (x)^g(x) (4)

нужно воспользоваться условием равенства показателей: если (x) /= -1, 0, +1, то следствием уравнения (4) является уравнение

f(x) = g(x). (5)

Пусть x = а —

корень уравнения (4). Тогда

(а)^f(а) = (а)^g(а).

В силу (1) можно записать, что

|(а)|^f(а) = |(а)|^g(а).

Так как |(x)| /= 0, 1 и |(x)| > 0, то по свойству показательной функции имеем

f(а) = g(а),

т. е. x = а — корень уравнения (5).

Случаи, когда (x) равно -1, 0 или 1, нужно рассмотреть отдельно.

Решая уравнение (4), следует иметь в виду, что выражения вида ⁰/₀ и 0⁰ не имеют смысла.

11.1. Найдите log₅ 6, если lg 2 = а, lg 3 = b.

11.2. Найдите lg 122,5, если lg 5 = а, lg 7 = b.

11.3. Решите уравнение

11.4. Для каждого действительного числа а решите уравнение

9^{– |x– 2|} - 4 · 3^{– |x– 2|} –  a = 0.

11.5. Для каждого действительного числа а решите уравнение

144^|x| - 2 · 12^|x| + а = 0.

Решите уравнения:

11.6.

11.7.

11.8.

11.9.

11.10. log₃(3^x - 1) log₃ (3^{x + 1} - 3) = 6.

11.11.

11.12.

11.13.

11.14.