Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

а₀у^к + а₁у^{k– 1} + ... + а_{k– 1}у + а_k = 0 (2)

относительно у = tg x.

Можно также делить уравнение (1) на sin^k x. Тогда (поскольку sin x /= 0) мы получим равносильное уравнению (1) алгебраическое

уравнение

а₀ + а₁z + ... + а_{k– 1}z^{k– 1} + а_kz^k = 0 (3)

относительно z = ctg x.

Пример 1. Решить уравнение

sin^3 x– 2 sin^2 x cos x– sin x cos^2 x + 2 cos^3 x = 0. (4)

Разделив его на cos^3 x, получим алгебраическое уравнение

у^3 - 2у^2 - у + 2 = 0,

где у = tg x. Последнее уравнение легко решается путем разложения его левой части на множители, и мы находим корни:

у₁ = -1, у₂ = 1, у₃ = 2.

Теперь остается решить совокупность уравнений

tg x = -1, tg x = 1, tg x = 2.

Мы получим следующие корни уравнения (1):

x = n ± /₄ , x = n + arctg 2.

Случай 2. a₀ = 0, или a_k = 0, или а₀ = a_k = 0. Пусть, например, a₀ = a_k = 0, а a₁ /= 0 и a_{k– 1} /= 0. Тогда уравнение (1) примет вид

a₁ sin^{k– 1} x cos x + a₂ sin^{k– 2} x cos^2 x + ...

... + a_{k– 2} sin^2 x cos^{k– 2} x + a_{k– 1} sin x cos^{k– 1} x = 0. (5)

В левой части уравнения выносим за скобки все, что возможно (в случае уравнения (5) мы можем вынести за скобки произведение sin x cos x). В результате получим уравнение

sin x cos x (a₁ sin^{k– 1} x + a₂ sin^{k– 2} x cos x + ...

... + a_{k– 2} sin x cos^{k– 2} x + a_{k– 1} cos^{k– 1} x) = 0,

распадающееся

на совокупность уравнений

sin 2х = 0,

a₁ sin^{k– 1} x + a₂ sin^{k– 2} x cos x + ...

... + a_{k– 2} sin x cos^{k– 2} x + a_{k– 1} cos^{k– 1} x = 0,

первое из которых решается просто (см. с. 77), а пути решения второго уравнения показаны в случае 1).

Пример 2. Решить уравнение

sin⁴ x cos x– 2 sin^3 x cos^2 x– sin^2 x cos^3 x + 2 sin x cos⁴ x = 0.

Левую часть уравнения разлагаем на множители:

sin x cos x (sin^3 x– 2 sin^2 x cos x– sin x cos^2 x + 2 cos^3 x) = 0. Получаем совокупность уравнений

sin x = 0, cos x = 0,

sin^3 x– 2 sin^2 x cos x– sin x cos^2 x + 2 cos^3 x = 0.

Решения первых двух уравнений даны на с. 77. Третье уравнение подробно рассмотрено в примере 1.

Системы тригонометрических уравнений. Предположим, что, преобразовывая систему тригонометрических уравнений, мы пришли к системе

Если переписать эту систему в виде

то, складывая и вычитая полученные уравнения, придем к выводу, что

Решили ли мы систему? Оказывается, нет. Решить систему — значит, найти все ее решения, а из поля нашего зрения выпало такое очевидное решение как x = ³/₂, у = /₄ (ни при каком целом n из выражения /₄ + ³ⁿ/₂ нельзя получить ³/₄).