Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

имеет ровно восемь решений на отрезке [-, ]?

17.13. На плоскости (x, у) укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых семейства

у = x^2 + 2(а– 1)x + 2(а– 1)^2 - 1,

где а — действительное число.

Глава 18

Задачи на составление уравнений

При решении задач на составление уравнений основную трудность представляет перевод условия задачи

с обычного языка на язык математических символов и уравнений. Наиболее ответственный этап этого процесса — выбор неизвестных. Нельзя шаблонно выбирать в качестве неизвестных величины, стоящие в вопросе задачи. Основное требование, которому должны отвечать выбранные неизвестные, состоит в том, чтобы с их помощью можно было прозрачно записать сформулированные в условии задачи соотношения.

Разберем в качестве примера следующую задачу.

Пример 1. Трое рабочих должны изготовить некоторое число деталей. Сначала к работе приступил первый, а через некоторое

время к нему присоединился второй. Когда ¹/₆ работы была выполнена, к работе приступил третий. Работу они закончили одновременно. Сколько времени работал первый рабочий, если каждый изготовил одинаковое число деталей, причем третий работал на 2 ч меньше второго? Известно, что первый и второй, работая вместе, могут изготовить требуемое число деталей на 9 ч раньше, чем третий, если бы он работал один.

Известно, что каждый рабочий изготовил одинаковое число деталей, т. е. выполнил треть всей работы. С другой стороны, нет никаких сведений о числе деталей, изготовленных кем-либо в какой-либо промежуток времени. Это означает, что речь идет о работе «вообще», о том, что каждый выполнял какую-то часть этой работы, а потому всю работу следует принять за единицу. Ту же мысль подтверждает и условие, в силу которого третий рабочий приступил к работе, когда ¹/₆ работы (обратите внимание: ¹/₆ всей работы, а не 45 или 27 деталей) была уже выполнена.

Из условия следует, что рабочие работают по-разному, другими словами, они изготовляют разное число деталей за одно и то же время. Поэтому нужно ввести в рассмотрение производительность каждого из них. Однако через x, у и z мы обозначим не число деталей, изготовляемых в час первым, вторым и третьим рабочими соответственно, а ту часть всей работы, которую каждый из них выполняет за это время.

После всего сказанного должно быть очевидным, что мы легко перепишем условие задачи в виде системы уравнений, если введем в рассмотрение еще три неизвестные: t₁, t₂, t₃ — время, затраченное соответственно первым, вторым и третьим рабочими. Так как каждый из них сделал за это время треть всей работы, то

t₁x = t₂у = t₃z = 1/3 . (1)

Мы получили три уравнения (их можно было написать в виде t₁x = 1/3 , t₂у = 1/3 , t₃z = 1/3 . K ним нередко добавляют четвертое:

t₁x + t₂у + t₂z = 1,

которое

должно отражать то обстоятельство, что в итоге вся работа была выполнена. Однако это уравнение не содержит никакой самостоятельной информации: оно является следствием первых трех и получается в результате их сложения. Поэтому последнее уравнение, хотя и верно составлено, но бесполезно для решения задачи.

Так как первый и второй рабочие вместе выполняют всю работу за ¹/_{x + y} ч, а третьему на это потребуется ¹/_z ч, то еще одно условие задачи можно записать так:

¹/_{x + y} + 9 = ¹/_z. (2)

Составим теперь уравнение, отражающее тот факт, что третий рабочий приступил к работе, когда ее ¹/₆ была выполнена. Другими словами, когда первый проработал t₁– t₃ ч, а второй t₂– t₃ ч, они сделали ¹/₆ всей работы:

x(t₁– t₃) + у(t₂– t₃) = ¹/₆. (3)

Добавляя к этим пяти уравнениям шестое:

t₂– t₃ = 2, (4)

мы можем приступить к решению полученной системы уравнений.

Решая систему уравнений, как правило, следует держать в поле зрения два обстоятельства. Во-первых, систему уравнений нужно воспринимать в целом, так, как вы воспринимали бы ее, решая вне связи с задачей. Это позволит найти более рациональный ключ к ее решению. Во-вторых, нельзя упустить из виду те неизвестные (или комбинации неизвестных), которые позволят ответить на вопрос задачи. Благодаря этому можно обойтись без излишних вычислений.

В нашем примере второе обстоятельство должно побудить нас использовать уравнение (4) для упрощения уравнения (3), в результате чего из (3) будет исключено неизвестное t₂, которое нас не интересует. Однако после замены t₂– t₃ на 2 уравнение (3) потеряет симметрию относительно t₁x и t₂у, что затруднит использование уравнений (1). Если же в уравнении (3) раскрыть скобки и вспомнить, что xt₁ = 1/3 и уt₂ = 1/3 , то получим уравнение