Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

18.10. Три пловца должны проплыть из A в B и обратно. Сначала стартует первый, через 5 с — второй, еще через 5 с — третий. Некоторую точку C, находящуюся между пунктами A и B, все пловцы миновали одновременно (до этого времени ни один из них в B не побывал). Третий пловец, доплыв до B и повернув назад, встречает второго в 9 м от B, а первого — в 15 м от B. Найдите скорость третьего пловца, если расстояние AB равно 55 м.

18.11. Сосуд, содержащий p%-й раствор кислоты, долили доверху q%-м раствором кислоты

и после перемешивания отлили то же количество. Проделав эту операцию k раз, получили r%-й раствор. Какую часть объема сосуда занимал первоначальный раствор [13] ?

18.12. Из пункта A в пункт B выехал автомобиль. Одновременно из B навстречу ему выехал мотоцикл. Через некоторое время они встретились. В момент их встречи из B в A выехал второй мотоцикл и в некоторый момент времени встретился с автомобилем. Расстояние между пунктами первой и второй встреч равно ²/₉AB. Если бы скорость автомобиля была на 20 км/ч меньше, то автомобиль встретился бы с первым мотоциклом через 3 ч после их выезда и расстояние между пунктами встреч было бы равно 60 км. Найдите AB, если скорости обоих мотоциклов одинаковы.

13

Плотности всех растворов предполагаются одинаковыми; при сливании двух растворов объем нового раствора равен сумме объемов исходных растворов.

18.13. Пассажир, опоздавший на поезд, сначала решил догнать его на такси, однако через некоторое время пересел на автобус, заплатив за билет А p., и прибыл на одну из станций одновременно с поездом. Между тем он обнаружил, что если бы продолжал ехать на такси, то догнал бы поезд на ч раньше, истратив при этом на В p. меньше. Какова скорость поезда, если скорость такси v₁ км/ч, автобуса v₂ км/ч (v₁ > v₂), а стоимость проезда 1 км на такси а p.?

18.14. Товарный поезд, шедший из А в В, прибыл в С одновременно с пассажирским, шедшим из В в А со скоростью в m раз большей, чем скорость товарного поезда. Оба состава простояли t ч в пункте С, затем продолжили путь, причем каждый увеличил скорость на 25%. Товарный поезд прибыл в В на t₁ ч позже, а пассажирский в А на t₂ ч позже, чем если бы они двигались без остановки с первоначальной скоростью. Насколько раньше товарный поезд вышел из А, чем пассажирский из В?

18.15. Расстояние между пунктами А и В равно s км. Из пункта А в пункт В вылетел вертолет, а через t ч в том же направлении вылетел самолет. Самолет догнал вертолет в d км от А, долетел до В и сразу повернул обратно. В d км от В самолет встретил вертолет и вернулся в А позднее, чем вертолет прибыл в В. Насколько раньше вертолет прибыл в В, чем самолет вернулся в А?

18.16. В озеро впадают две реки. Пароход выходит из порта M на первой реке и плывет вниз по течению, затем через озеро (на озере течение отсутствует) и по второй реке вверх по течению до порта N. Придя в N, пароход

отправляется в обратный путь.

Известна собственная скорость парохода v и скорости течения рек: v₁ и v₂. На путь от M до N, равный по длине s, и на обратный путь пароход тратит одинаковое время t. Какое расстояние пароход проходит по озеру?

18.17. Из пункта А в пункт В в 8 ч утра выходит скорый поезд. В этот же момент из В в А выходят пассажирский и курьерский поезда, причем скорость курьерского в два раза больше скорости пассажирского. Скорый поезд прибывает в В в 13 ч 50 мин того же дня, а встречает курьерский поезд не ранее 10 ч 30 мин утра. Когда пассажирский поезд прибудет в пункт А, если между моментами встреч скорого поезда с курьерским и скорого поезда с пассажирским проходит не менее часа?

18.18. Завод должен получить 1100 деталей. На базе имеются комплекты по 70, 40 и 25 деталей. Стоимость пересылки одного комплекта равна соответственно 20, 10 и 7 p. Какие комплекты и в каком количестве следует заводу заказать, чтобы расходы по пересылке были наименьшими? Переупаковка комплектов на базе не допускается.

Глава 19

Последовательности и прогрессии

Рассмотрим функцию натурального аргумента а_n = f(n), где либо n = 1, 2, 3, ..., k, либо n = 1, 2, 3, ..., k, ... . Если при любых натуральных i и j, таких, что i < j, значение а_j считается последующим по отношению к а_i, то множество значений а_n этой функции образует последовательность.

Последовательность обозначают, записывая ее члены а_n один за другим в порядке возрастания номера n: а₁, a₂, а₃, ... .

Если номер n принимает значения n = 1, 2, 3, ..., k, то последовательность называется конечной. Если же n = 1, 2, 3, ... (т. е. n пробегает все натуральные числа), то последовательность называется бесконечной.

а_n = f(n) называется общим членом последовательности. Если для любых i и j, таких, что i < j, выполняется неравенство а_i < а_j, то последовательность называется возрастающей. Если при тех же условиях будет а_i > а_j, то последовательность называется убывающей. Если же при любых i и j, таких, что i < j, выполняется неравенство а_i <= а_j (а_i >= а_j), то последовательность называется неубывающей (невозрастающей).