Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
В чем же ошибка? Ошибка очень проста: переходя от первоначальной системы к выражениям относительно x + у и x– у, мы должны были сохранить их «независимость», которая присутствовала в исходной системе. Вместо этого мы «связали» их введением общего целочисленного переменного n.
Правильным было бы такое решение:
откуда
x = /4 + (2т + n), у = - /4– /2 (2т– n).
Прежде
Решите уравнения:
13.1. 1 + sin 2x + 22 cos 3x sin (x + /4) = 2 sin x + 2 cos 3x + cos 2x.
13.2.
13.3.
13.4. tg 2x tg 7x = 1.
13.5.
13.6. 2 tg 3x– 3 tg 2x = tg^2 2x tg 3x.
13.7. sin^3 x + cos^3 x + 1/2 sin 2x sin (x + /4) = cos x + sin 3x.
13.8. 4 tg 4x– 4 tg 3x– tg 2x = tg 2x tg 3x tg 4x.
13.9. Найдите решения уравнения
лежащие в интервале (0, 2).
13.10. Решите уравнение
sin (x– ) = sin x– sin .
13.11. Найдите решения уравнения
|cos 2x| = |sin^2 x– а|
(а — действительное число), удовлетворяющие неравенству
0 <= x <= 2.
Решите уравнения:
13.12.
13.13. (tg x + sin x) 1/2 + (tg x– sin x) 1/2 = 2 tg 1/2 x cos x.
13.14. ctg 2x + 3 tg 3x = 2 tg x + 2/sin 4x.
13.15. sec x^2 + cosec x^2 + sec x^2 cosec x^2 = 1.
13.16.
13.17. 4 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tg x.
13.18. cos x = cos^2 3x/4.
13.19. sin 4x[2 + ctg x + ctg (/4– x) = 22(1 + sin 2x + cos 2x).
13.20. sin 4x sin x– sin 3x sin 2x = 1/2 cos 3x + (1 + cos x) 1/2 .
13.21. sin 4x = m tg x,
13.22. sin x/2 (sin x + sin 2x + ... + sin 100x) = 1/2 sin 101x/2.
13.23. sin^2 x + sin 2x sin 4x + ... + sin nx sin n^2x = 1.
13.24. 4 cos x– 2 cos 2x– cos 4x = 1.
13.25.
13.26. sin^3 x + cos^3 x = 1.
13.27. cos^2 3x + 1/4 cos^2 x = cos 3x cos4 x.
13.28. При каких значениях а уравнение
1 + sin^2 ax = cos x
имеет единственное решение?
Решите системы:
13.29.
13.30.
13.31.
13.32.
13.33.
13.34.
13.35.
13.36.
13.37.
13.38.
13.39. Найдите все пары чисел x, у, которые удовлетворяют уравнению
tg4 x + tg4 у + 2 ctg^2 x ctg^2 у = 3 + sin^2 (x + у).