Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы, Ваховский Евгений Борисович

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

на обложку

Ваховский Евгений Борисович

Шрифт:

11.15. log0,5xx^2 - 14 log16xx^3 + 40 log4xx = 0.

11.16.

11.17.

11.18.

11.19.

где а > 0, а /= 1.

11.20.

Найдите неотрицательные решения системы уравнений

Решите системы уравнений:

11.21.

11.22.

11.23.

11.24.

11.25.

11.26.

11.27.

11.28.

11.29.

11.30.

Глава 12

Тригонометрические преобразования

Основные тригонометрические формулы.

1. Зависимости между тригонометрическими функциями:

2. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов:

sin (x ± у) = sin x cos у ± sin у cos x,

cos (x ± у) = cos x cos у ± sin x sin у,

3. Функции двойного и тройного аргумента:

sin 3х = 3 sin x - 4 sin^3 x, cos 3х = 4 cos^3 x - 3 cos x.

4. Формулы понижения степени для синуса и косинуса:

5. Функции половинного аргумента:

6. Преобразование суммы функций в произведение:

7. Преобразование

произведения функций в сумму:

sin x cos y = 1/2 [sin (x– y) + sin (x + y)],

cos x cos y = 1/2 [cos (x– y) + cos (x + y)],

sin x sin y = 1/2 [cos (x– y) - cos (x + y)].

Все формулы нужно уметь читать не только «слева направо», но и «справа налево». Так, например, в записи sin /4 cos x - cos /4 sin x нужно узнавать sin (/4– x), а не принимать ошибочно за sin (x - /4), а в записи

узнавать ctg x/2.

Проверьте себя и напишите, чему равно выражение

Если вы убеждены в том, что это выражение равно тангенсу половинного угла, обратите внимание на то обстоятельство, что выражение, о котором идет речь, неотрицательно, а тангенс половинного угла — знакопеременная функция. Таким образом,

и не следует писать в этом случае ±tg x. То же самое рассуждение можно провести для любой из приведенных выше формул, где перед корнем стоит ±. Мы ставим ±, чтобы «примирить» выражение, стоящее в левой части, которое может быть отрицательным, с неотрицательным корнем. Поставив ±, мы не получаем двузначную функцию; этот символ говорит лишь о том, что для каждого фиксированного x мы обязаны выбрать определенный знак, в зависимости от того, в какой четверти тригонометрического круга оказывается угол, стоящий под знаком функции в левой части формулы.

12.1. Упростите выражение