Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
21.6. Вычислите сумму
21.7. Найдите все значения n, при которых какие-либо три последовательных коэффициента разложения бинома (x + а)n являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.
21.8. Найдите число неподобных между собой членов разложения
(а + b + с + d)n.
21.9.
(1 + x + x^2 + ... + хn– 1)^2.
21.10. Для бинома (1/5x + 2/5)n найдите натуральный показатель n, если известно, что десятый член разложения этого бинома имеет наибольший коэффициент.
21.11. Определите число отличных от нуля коэффициентов в разложении
(1 + x^2 + х5)20 = а0 + а1х + а2х^2 + ... + а100х100.
21.12. Дана последовательность а1, а2, а3, ..., а10. Сколькими способами, сохраняя фиксированный порядок элементов последовательности, ее можно разбить на группы, каждая из которых состоит из одного элемента или двух рядом стоящих элементов?
21.13. На плоскости проведены m параллельных прямых и n прямых, пересекающих эти прямые и друг друга. Никакие три прямые не проходят через одну точку. На сколько областей (частей) эти прямые разбивают плоскость?
Глава 22
Обратные тригонометрические функции
Определения обратных тригонометрических функций приводят к следующим соотношениям.
Если arcsin x = (-1 <= x <= 1), то sin = x и -/2 <= <= /2 .
Если x >= 0, то 0 <= <= /2 ; если x <= 0, то -/2 <= <= 0.
Если arccos x = (-1 <= x <= 1), то cos = x и 0 <= <= .
Если x >= 0, то 0 <= <= /2; если x <= 0, то /2 <= <= .
Если arctg x = , то tg = x и -/2 < < /2.
Если x >= 0, то 0 <= < /2 ; если x <= 0, то -/2 < <= 0.
Если arctg x = , то ctg = x
Если x >= 0, то 0 < <= /2; если x <= 0, то /2 <= < .
Имеют место следующие соотношения [14] :
arcsin x + arccos x = /2; arctg x + arcctg x = /2;
14
Первое соотношение — неабсолютное тождество, остальные — абсолютные тождества.
arcsin (-x) = -arcsin x; arctg (-x) = -arctg x; arccos (-x) = - arccos x; arcctg (-x) = - arcctg x.
22.1. Докажите, что
2 arctg 1/4 + arctg 7/23 = /4.
22.2. Представьте выражение
arctg 7/9 + arcctg 8 + arcsin 2/4
в виде значения функции arcsin x.
22.3. Представьте выражение
arctg (-2) + arcsin 1/3 + arctg (- 1/3 )
в виде значения лишь одной обратной тригонометрической функции.
22.4. Вычислите сумму
22.5. Найдите
arccos (sin (x^2 + x– З)),
если
22.6. Докажите, что если 0 <= x <= 1, то
22.7. Докажите, что выражение arcsin
Решите уравнения:
22.8. tg (З arcsin x) = 1.
22.9. arcsin 3x/5 + arcsin 4x/5 = arcsin x.
22.10. arcsin 2x + arcsin x = /3.
22.11. arctg (2 + cos x) - arctg (2 cos^2 x/2) = /4.
22.12.
22.13. arctg (x– 1) + arctg x + arctg (x + 1) = arctg Зx.