Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
Расстоянием между двумя прямыми AB и CD называется наименьшее из расстояний между двумя точками, одна из которых принадлежит AB, а другая — CD.
Две прямые называются параллельными, если через них можно провести плоскость и они не пересекаются.
Две прямые называются скрещивающимися, если через них нельзя провести плоскость.
Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми является длина отрезка, высекаемого ими на прямой, перпендикулярной к обеим скрещивающимся
Последнее утверждение является теоремой, а не определением, и может быть доказано.
Во всех последующих задачах рассматриваются только выпуклые многогранники, т. е. такие, которые лежат по одну сторону от любой из его граней. Грани рассматриваемых многогранников являются выпуклыми многоугольниками.
Призмой называется многогранник, в котором две грани — равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани пересекаются между собой по прямым, параллельным друг другу.
Второе требование в этом определении нельзя заменить условием: «остальные грани — параллелограммы», так как иначе пришлось бы отнести к призмам многогранник, составленный из двух равных наклонных параллелепипедов, симметричных относительно плоскости их общего основания, крест, образованный из пяти равных кубиков и m. n.
Если боковые ребра (грани) пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то высота пирамиды проецируется в центр описанной вокруг основания (вписанной в основание) окружности.
Если боковые ребра и грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то пирамида правильная.
Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость P равна произведению площади этого многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью P.
Если все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом , то Sоснования = Sбоковой поверхности ·cos .
Треугольную пирамиду называют тетраэдром.
Правильным тетраэдром называется тетраэдр, у которого все ребра равны.
В задачах рассматриваются только прямые круговые конусы и цилиндры.
Конус (цилиндр) называется равносторонним, если его осевое сечение есть правильный треугольник (квадрат).
3.1. Через точку, лежащую на ребре двугранного угла (0 < < /2), проходят два луча, расположенных в различных полуплоскостях его. Один из этих лучей перпендикулярен к ребру, а другой образует с ребром острый угол . Найдите угол между данными лучами.
3.2. Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит в некоторой плоскости P, а катеты составляют с этой плоскостью углы и . Определите угол между плоскостью P и плоскостью треугольника.
3.3. Стороны угла наклонены к плоскости P под углами и . Найдите косинус угла, являющегося проекцией угла на плоскость P.
3.4. Даны четыре скрещивающиеся прямые: а, b, с и d. Постройте прямую, параллельную а и одинаково удаленную от остальных трех прямых.
3.5. Равносторонний треугольник ABC со стороной, равной а, лежит
3.6. В пространстве даны два луча Ax и By, не лежащие в одной плоскости и образующие между собой угол 90°; AB — их общий перпендикуляр. На лучах Ax и By взяты точки: M на Ax и P на By, такие, что 2АМ · ВР = AB^2. Докажите, что расстояние от середины O отрезка AB до прямой MP равно 1/2AB.
3.7. Докажите, что четырехгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.
3.8. На плоскости P лежит правильный треугольник ABC со стороной а. Из точек С и В восставлены перпендикуляры к плоскости P и на них отложены отрезки СЕ = а2 и BD = a/2 (с одной стороны от плоскости P). Найдите площадь треугольника DEA и косинус угла между плоскостью P и плоскостью этого треугольника.
3.9. Найдите объем пирамиды, в основании которой лежит правильный треугольник со стороной а, если двугранные углы между плоскостью основания и боковыми гранями равны , и .
3.10. Основанием пирамиды DABC служит равнобедренный треугольник ABC с площадью S и основанием AB = а. Две боковые грани пирамиды, опирающиеся на равные стороны основания, имеют при вершине пирамиды прямые углы. Найдите угол, образованный третьей боковой гранью пирамиды и плоскостью основания, если объем пирамиды равен V.
3.11. В правильной треугольной пирамиде площадь основания равна 3, а угол бокового ребра с плоскостью основания в четыре раза меньше плоского угла при вершине. Найдите площадь боковой поверхности.
3.12. В тетраэдр вписан другой тетраэдр так, что его вершины лежат в точках пересечения медиан граней первого тетраэдра. Найдите отношение объемов тетраэдров.
3.13. Шар касается всех боковых граней пирамиды в точках пересечения их медиан, причем центр шара находится внутри трехгранного угла, образованного боковыми гранями пирамиды. Докажите, что пирамида правильная.