Тени разума. В поисках науки о сознании
Шрифт:
Ключевым в этих процедурах является математический объект, называемый матрицей плотности. Понятие матрицы плотности играет в квантовой теории весьма важную роль, и именно она, а не вектор состояния, лежит в основе большинства стандартных математических описаний процесса измерения. Центральную роль отводит матрице плотности и мой, менее традиционный, подход, особенно в том, что касается ее связи со стандартными FAPP-процедурами. По этой причине нам, к сожалению, придется углубиться в математический формализм квантовой теории несколько далее, нежели было необходимо прежде. Надеюсь, что читателя-неспециалиста такая перспектива не отпугнет. Даже при отсутствии полного понимания, мне думается, любому читателю будет полезно хотя бы бегло просматривать математические рассуждения по мере их появления — несомненно, со временем придет и осмысление. Это стало бы существенным подспорьем для понимания некоторых из дальнейших аргументов и тонкостей, сопровождающих поиски ответа на вопрос, почему
В отличие от отдельного единичного вектора состояния, матрицу плотности можно рассматривать как представление комбинации вероятностей нескольких возможных альтернативныхвекторов состояния. Говоря о «комбинации вероятностей», мы подразумеваем лишь, что существует некоторая неопределенность в отношении действительного состояния системы, при этом каждому из возможных альтернативных векторов состояния поставлена в соответствие некоторая вероятность — самая обычная классическая вероятность, выраженная самым обычным вещественным числом. Однако матрица плотности вносит в это описание некоторую путаницу (заложенную изначально), поскольку не отличает классическиевероятности, фигурирующие в вышеупомянутой взвешенной вероятностной комбинации, от вероятностей квантовомеханических, возникающих в результате процедуры R. Дело в том, что операционными методами различить эти вероятности невозможно, поэтому в операционном же смысле вполне уместным представляется математическое описание (матрица плотности), которое такого различия неделает.
Как выглядит это математическое описание? Я не стану углубляться в ненужные здесь подробности, лишь вкратце изложу основные концепции. Идея матрицы плотности, вообще говоря, весьма изящна [43] . Начать с того, что вместо каждого отдельного состояния | мы используем объект вида
| |.
Что означает такая запись? Не прибегая к точному математическому определению, которое для нас сейчас несущественно, можно сказать, что это выражение представляет собой особого рода «произведение» (точнее, вид тензорного произведения, см. §5.15 ) вектора состояния | и «комплексно сопряженного» ему вектора |. Вектор состояния | мы полагаем нормированным(т.е. | = 1); тогда выражение | |однозначно определяется физическим состоянием, представленным вектором | (поскольку не зависит от изменений фазового множителя | e i| , см. §5.10 ). В системе обозначений Дирака исходный вектор | называется «кет»-вектором, а соответствующий ему |— «бра»-вектором. Бра-вектор |и кет-вектор | могут образовывать и скалярное произведение («bra-ket» [44] ):
43
Эта идея была предложена в 1932 году выдающимся венгерско-американским математиком Джоном фон Нейманом. Ему же, главным образом, мы обязаны теорией, опиравшейся на первопроходческие труды Алана Тьюринга и положившей начало развитию электронных компьютеров. Кроме того, фон Нейман стоял у истоков теории игр (см. ссылку в примечании {46}) и, что ближе к теме нашего разговора, первым четко определил две квантовые процедуры, которые я обозначил здесь буквами « U» и « R».
44
Созвучно английскому bracket«скобка». — Прим. перев.
|,
с таким обозначением мы уже встречались в §5.12 . Значением скалярного произведения является самое обычное комплексное число, тогда как тензорное произведение | | в матрице плотности дает более сложный математический «объект» — элемент некоторого векторного пространства.
Перейти от непонятного «объекта» к обычному комплексному числу позволяет особая математическая операция, называемая вычислением следа(или суммы элементов главной диагонали) матрицы. Для простого выражения | | эта операция сводится к простой перестановке членов, дающей в результате скалярное произведение:
СЛЕД(| |) = | .
В случае суммы членов «след» вычисляется линейно: например,
СЛЕД ( z| | + w| |) = z | + w | .
Я не стану в подробностях выводить все математические свойства таких объектов,
( z|) | = z( | |) = |( z |),
( | + |) | = | | + | |,
|( | + |) = | | + | |.
Следует также отметить, что бра-вектор z' |является комплексным сопряженным кет-вектора z| (поскольку число z' есть комплексное сопряженное комплексного числа z, см. §5.8 ), а сумма |+ |— комплексным сопряженным суммы | + |.
Допустим, нам нужно составить матрицу плотности, представляющую некоторую комбинацию вероятностей нормированных состояний, скажем, | и | ; вероятности, соответственно, равны aи b. Правильная матрица плотности в данном случае будет иметь вид
D = a| |+ b| |.
Для трех нормированных состояний | , | , | с соответствующими вероятностями a, b, cимеем
D = a| |+ b| | + c| |,
и так далее. Из того, что вероятности всех альтернативных вариантов должны в сумме давать единицу, можно вывести важное свойство, справедливое для любой матрицы плотности:
СЛЕД( D ) = 1.
Как же использовать матрицу плотности для вычисления вероятностей, результатов измерения? Рассмотрим сначала простой случай примитивного измерения. Спросим, находится ли система в физическом состоянии | ( ДА) или в ином состоянии, ортогональном | ( НЕТ). Само измерение представляет собой математический объект (так называемый проектор), очень похожий на матрицу плотности:
E = | |.
Вероятность pполучения ответа ДАопределяется из выражения
p = СЛЕД( DE ),
где произведение DE само представляет собой объект, подобный матрице плотности. Оно вычисляется с помощью несложных алгебраических правил, необходимо лишь соблюдать порядок «умножений». Например, для вышеприведенной двучленной суммы D = a| |+ b| | имеем
DE = ( a| |+ b| |) | |= a| | |+ b| | |= ( a |)| |+ ( b | )| |.
Члены | и | могут «коммутировать» с другими выражениями, так как они представляют собой просто числа, порядок же таких «объектов», как | и |необходимо тщательно соблюдать. Далее получаем (учитывая, что zz' = | z 2|, см. §5.8 )