Тени разума. В поисках науки о сознании
Шрифт:
Для любой точки на сфере Римана антиподальной является точка —1/ '. Таким образом, если отразить все майорановы точки, являющиеся корнями полинома
a( x) a 0+ a 1 x+ a 2 x 2+ a 3 x 3+ … + a n– 1 x n– 1 + a nx n,
относительно
a*( x) a' n – a' n– 1 x+ a' n– 2 x 2– … - (—1) na' 1 x n– 1+ (—1) na' 0 x n.
Пусть состояния | и | заданы, соответственно, полиномами a( x) и b( x), где
b( x) b 0+ b 1 x+ b 2 x 2+ b 3 x 3+ … + b n– 1 x n– 1 + b nx n;
тогда их скалярное произведение имеет вид
| = b' 0 a 0+ (1/ n) b' 1 a 1+ (2!/ n( n– 1)) b' 2 a 2+ (3!/ n( n– 1)( n– 2)) b' 3 a 3+ … + b' na n.
Это выражение инвариантно относительно вращений сферы, что можно непосредственно доказать, используя вышеприведенные формулы.
Применим полученное выражение для скалярного произведения к конкретному случаю b( x) = a*( x), т.е. к случаю двух состояний, майораново описание одного из которых состоит исключительно из точек, антиподальных точкам, составляющим майораново описание другого. Их скалярное произведение равно (с точностью до знака)
a 0 a n– (1/ n) a 1 a n– 1+ (2!/n(n -1)) a 2 a n– 2– … - (—1) n (1/ n)a n - 1a 1+ (—1) na na 0.
Нетрудно заметить, что при отрицательном nвсе
C.1Если nнечетно, то состояние |PQR…T ортогонально состоянию |P*Q*R*…T*.
Из общего выражения для скалярного произведения можно вывести еще два свойства:
C.2Состояние |PPP…P ортогонально любому из состояний |P*AB…D).
C.3Состояние |QPP…P ортогонально состоянию |ABC…E в тех случаях, когда стереографическая проекция (из P*) точки Q* совпадает с центром тяжести множества стереографических проекций (из P*) точек A, B, C, …, E.
(Центром тяжести множества точек называют центр тяжести совокупности равных точечных масс, размещенных в этих точках. О стереографических проекциях мы говорили в §5.10 , рис. 5.19 .) Для доказательства C.3развернем сферу так, чтобы точка P* стала ее южным полюсом. Тогда состоянию |QPP…P соответствует полином x n – 1( x– ), где определяет точку Q на сфере Римана. Вычислив скалярное произведение этого состояния с состоянием, представленным полиномом ( x– 1)( x– 2)( x– 3)…( x– n), майораново описание которого составляют корни 1, 2, 3, …, n, находим, что это произведение обращается в нуль, когда
1 + n —1 '( 1+ 2 + 3+ … + n) = 0,
т.е. когда —1/ ' равно ( 1+ 2 + 3+ … + n)/ n, иначе говоря, когда точка —1/ ' является центром тяжести (на комплексной плоскости) множества точек 1, 2, 3, …, n. Что и доказывает свойство C.3. Для того чтобы доказать C.2, поместим в южный полюс точку P. Тогда состоянию |PPP…P соответствует постоянная величина, 1. Если рассматривать ее как полином степени n, то соответствующее скалярное произведение обращается в нуль, когда
1 2 3… n= 0,
т.е. когда хотя бы одна точка из множества 1, 2, 3, …, nравна 0 или, что то же самое, совпадает с северным полюсом сферы — в данном случае, с точкой P*. Что, собственно, и требовалось доказать.
Свойство C.2позволяет интерпретировать майорановы точки в физическом смысле. Исходя из него, можно предположить, что эти точки определяют направления, измерение (типа измерения Штерна—Герлаха) спина в которых дает нулевую вероятность того, что полученное в результате измерения направление оси спина окажется диаметрально противоположным тому направлению, в котором это измерение выполнялось (см. НРК, с. 273). Кроме того, из C.2можно вывести свойство для частного случая: если спин равен 1/2 ( n= 1), то ортогональными являются исключительно те состояния, майорановы точки которых антиподальны. Свойство C.3позволяет получить общую геометрическую интерпретацию ортогональности в случае спина 1 ( n= 2). Примечателен частный случай, когда имеются два состояния, представленные в виде двух пар антиподальных точек, причем прямые, соединяющие эти точки, пересекаются в центре сферы под прямым углом. В случае спина 3/2 ( n= 3) свойства C.3(с некоторой оглядкой на C.1) вполне достаточно для подкрепления объяснений, предложенных в §5.18 . (Геометрическую интерпретацию ортогональности в общем случае я здесь давать не буду; может быть, как-нибудь в другой раз.)