Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике

Салес Жузеп

Здесь для решения неравенства нужно сменить его знак на противоположный.

Это можно показать так: 7 < 13, однако, напротив, — 7 > — 13.

* * *

Сумма первых восьми нечетных чисел записывается следующим образом:

 ⁿ_j=0 (1 + 2j) = (1 + 2•0) + (1 + 2•1) + (1 + 2•2) + (1 + 2•3) + (1 + 2•4) + (1 + 2•5) + (1 + 2•6) + (1 + 2•7) + (1+ 2•8) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11+ 13 +15 + 17.

Сумма ⁵_j=2 2^j равняется 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ = 4 + 8 +16 + 32.

Сумма ³_l=1 (l+1)•3^l = 2•З¹ + 3•З² + 4•3³ = 6 + 27 + 108.

* * *

ДИСКРЕТНЫЕ

И НЕПРЕРЫВНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Во многих областях современной математики переменная определяется как дискретное множество (это означает, что она может принимать только определенные значения, и между двумя соседними значениями не может находиться никакого другого). На языке математики это записывается так: {х₁, х₂, …,х_n}. Между значениями х₁ и х₂ нет никакого другого значения переменной х.

Существуют и другие переменные, используемые намного чаще, которые определены на непрерывных множествах (это означает, что такие переменные могут принимать целые, дробные и иррациональные значения). Примером такой переменной является {0 <= t <=

}. Очень часто для решения различных задач, связанных с функциями, определенными на непрерывных множествах, требуется выполнить операцию интегрирования 

, как, например, в случае с функцией вероятности или нормальным распределением вероятности. Когда речь идет о дискретных переменных, операцией, аналогичной интегрированию, является сложение.

Функция f(t) непрерывной переменной t, определенная на множестве {a <= t <= b}.

Функция у(х) дискретной переменной х, определенная на множестве {х₁, х₂, х₃, x₄}.

Множество из четырех элементов можно обозначить буквами и цифрами, которые будут выступать в качестве индексов: х₁, х₂, х₃, x₄.Если мы хотим работать с множеством из n элементов (n может изменяться в зависимости от задачи), они будут обозначаться {х₁, х₂…. х_n-1, x_n}. Так, х_{n – 1} обозначает элемент, идущий перед х_n, последним элементом множества. Произвольный элемент ряда (занимающий в нем i-е место) обозначается х_i. Таким образом, например, цены четырех товаров можно обозначить p₁, р₂, р₃ и р₄, а запрошенные объемы каждого товара — q₁, q₂, q₃ и q₄.

* * *

Определенная сумма применяется при записи математических рядов, например биномиального ряда. Биномиальное распределение вероятности используется при анализе результатов опросов, когда на вопрос возможны лишь два ответа (например, «да» и «нет»). Вероятность их появления равняется р и q. А поскольку сумма их вероятностей равна р + q = 1, следовательно, q = 1 — р.

Чтобы узнать вероятность того, что будет получено три или менее ответа «да», нужно вычислить вероятности следующих событий: ни одного ответа «да», один ответ «да», два ответа «да» или три ответа «да», то есть Р (0 < k < 3) = Р (0) + Р (1) + Р (2) + Р (3). Эту же формулу можно записать так:

Функция, позволяющая вычислить вероятность того, что на п вопросов будет дано от 0 до k ответов «да», равна сумме вероятностей, последним слагаемым в которой будет Р(k). Эта же формула записывается в следующем виде:

В похожем виде записываются статистические функции, к примеру:

Эта же формула в виде ряда будет записываться так:

Аналогичный вид имеют статистические формулы:

Как измеряется инфляция. Виды индексов

Инфляция — это повышение цен на товары и услуги, при которой зарплаты или доходы потребителей не меняются и, таким образом, их покупательная способность снижается. Это означает, что на ту же сумму денег, что и раньше, можно купить меньше товаров. Чтобы измерить инфляцию, необходимо проанализировать изменения цен. Высокая инфляция негативно сказывается на экономике страны, так как уровень доходов потребителей и домохозяйств снижается, одновременно с этим ухудшается конкурентоспособность страны на мировом рынке. Следовательно, инфляцию необходимо контролировать. Стабильность цен — одна из необходимых характеристик здоровой экономики государства.

Колебания цен измеряются с помощью индексов. При расчете инфляции рассматриваются средние цены потребительской корзины товаров и услуг, в которой различным ценам присваиваются весовые коэффициенты. Выбранный год рассматривается в качестве исходного, и ему присваивается значение 100, на основе которого рассчитывается рост средневзвешенных цен в последующие годы.

Так, например, если в качестве базового выбран нулевой год с индексом 100, и в последующие годы зарегистрированы приведенные ниже показатели роста цен, индекс цен изменится так:

Расчет индекса цен.

Статистические организации государства разрабатывают различные индексы цен для разных продуктов. Самым известным является индекс потребительских цен, рассчитываемый на основе фиксированной корзины определенных продуктов и обязательных расходов потребителей (продукты питания, одежда, коммунальные услуги, образование, общественный транспорт ит.д.). Так же формируются индексы цен для других продуктов, например промышленных, сельскохозяйственных, строительных товаров, индекс цен на недвижимость и т. д.

Годовой уровень инфляции (в %) рассчитывается по следующей формуле:

Существует множество теорий, объясняющих рост цен. Некоторые из них записаны на языке алгебры, как, например, количественная теория денег Ирвинга Фишера. Согласно этой теории уровень цен (Р) в стране зависит от общего объема всех товаров и услуг (Q), количества денег в обращении (М) и скорости обращения денежной массы (V), показывающей, сколько раз деньги переходят из рук в руки: