Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике

Салес Жузеп

* * *

С другой стороны, условия торговли определяются как отношение средних цен экспорта к средним ценам импорта, то есть:

Чем лучше условия торговли в стране, тем больше у нее преимуществ при международной торговле: хорошие условия торговли означают, что страна продает товары по высоким ценам, а взамен получает намного больше импортных товаров по более низким ценам. В международной торговле все страны стремятся получить сравнительное преимущество, то есть хотят экспортировать и импортировать определенные товары при благоприятных для себя условиях торговли.

Курсы различных валют являются следствием сделок, совершаемых на финансовых рынках и определяемых потребностями в международных платежах, которые испытывают

различные учреждения: коммерческие и центральные банки, транснациональные корпорации, финансовые институты (инвестиционные фонды, пенсионные фонды, страховые компании и т. д.). Наибольшим спросом пользуются валюты, которые чаще всего применяются в международных расчетах. Как правило, это валюты стран с наиболее сильной экономикой.

Спрос на валюту также определяют базовые процентные ставки в странах с этой валютой, а также ожидания участников рынка относительно ее будущих котировок.

На курсы некоторых валют также влияют решения, принимаемые центральными банками государств для поддержания заниженного курса с целью стимулирования экспорта. Так, США, Китай и Япония поддерживают заниженные курсы своих валют по отношению к евро для стимулирования международной торговли.

Простые практические алгоритмы

Расскажем о простейших правилах арифметики в торговле, которые использовались начиная с эпохи Возрождения и до конца XX века. Первое из них — правило пропорции, позволяющее решать задачи, в которых две переменные прямо пропорциональны друг другу (с увеличением одной увеличивается и другая). Если, например, ростовщик зарабатывает три динара на займе в 50 динаров, сколько он заработает на займе в 120 динаров?

50 динаров ____ 3 динара

120 динаров ___ х динаров.

Как известно, эта задача решается так:

50/120 = 3/х

50х = 120-3

50х/50 = 120•3/50

х = 120•3/50 = 7,20 динара.

Правило пропорции.

Похожи на них задачи с обратной пропорциональностью. Два каменщика строят стену за 12 дней. Сколько дней понадобится на постройку стены пяти каменщикам?

2 человека ___ 12 дней

5 человек ____ х дней.

Задача решается следующим образом:

2/5 = х/12

2•12 = 5х

5х/5 = 2•12/5

х = 2•12/5 = 4,80 дня = 4 дня 19 часов 12 минут.

Второй вариант использования правила пропорции.

Наконец, правило пропорции применимо и для решения более сложных задач: если 40 маляров, работая по 8 часов в день, красят 320 метров забора за 10 дней, то за сколько дней 55 маляров покрасят 440 метров такого же забора, если будут работать по 6 часов в день?

Задача решается следующим образом:

10/х = 55/40•6/8•320/440

х = 10•440/320•8/6•40/55 = 13,3 дня = 13 дней 8 часов.

Определенная сумма

Греческая буква (заглавная сигма) очень часто используется в математических формулах экономической теории и обозначает сумму слагаемых. Например, для обозначения суммы x₁  + х₂ + х₃  + х₄  можно использовать выражение  ⁴_i=1 x_i

Знак  перед х_i означает, что нужно сложить все значения х. Числа, указанные под буквой  и над ней, обозначают границы суммы, то есть наибольшее и наименьшее значение индекса, которое используется при сложении.

Сумма  ⁶_k=3 x_k означает х₃ + х₄ + х₅ + х₆,

Cумма  ⁿ_j=m x_j

означает х_m + х_m+1 … + х_n-1 + х_n.

Индексы могут принимать только целые значения, а нижний индекс может быть обозначен любой буквой.

Так,  ^m_i=1 x_i =  ^m_j=1 x_j =  ^m_k=1 x_k

Член, следующий за буквой , называется слагаемым. В выражении  ^m_k=1 x_k слагаемыми являются х_k.

* * *

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Уравнение — это математическое равенство с одной или несколькими неизвестными величинами.

Уравнение обращается в верное равенство лишь при определенных значениях этих неизвестных. Неизвестная в уравнениях может быть возведена в квадрат или в куб.

Например, х + 12 = 25 — Зх — уравнение первой степени, 12 + х² — 6х = 3 — уравнение второй степени, 9 — Зх² — 6х³ = -12 — уравнение третьей степени.

В XIII веке Леонардо Пизанский решал задачи, подобные следующей: у ювелира есть золото 975-й пробы и золото 750-й пробы, и он хочет получить слиток золота 900-й пробы весом в два килограмма.

Сколько золота каждой пробы потребуется для этого? Эта задача решается так:

х кг вес золота 975-й пробы

(2 — х) кг вес золота 750-й пробы

х•0,975 + (2 — х)•0,750 = 2•0,900

х•0,975 + 2 0,750 — 0,750•х = 1,800

х•0,975 — 0,750х = 1,800 — 2•0,750

х•0,225 = 1,800 — 1,500

х•0,225 = 0,300

х = 0,300/0,225 = 4/3 = 1 1/3 кг золота 975-й пробы

(2 — х) = 2 – 1 1/3 = 2/3 кг золота 750-й пробы.

Фибоначчи также сформулировал и решил задачи, описываемые уравнениями второй степени, подобные следующей: площадь прямоугольного поля равна 2400 м² Известно, что его длина на 20 м больше ширины. Вычислите размеры поля. Таким образом, произведение ширины (х) на длину (х + 20) равно 2400 м². Стандартное уравнение второй степени выглядит так: ах² + Ьх + с = 0. Значение неизвестной х можно вычислить по формуле:

В этом случае:

х•(х + 20) = 2400; х² + 20х = 2400; х2 + 20х — 2400 = 0.

Таким образом, поле имеет размеры 40 х 60 м.

Неравенства похожи на уравнения, однако вместо знака равенства (-) содержат один из четырех возможных знаков неравенства:

<= «меньше либо равно»

< «меньше» (строго)

>= «больше либо равно»

> «больше» (строго).

Неравенству с одной переменной х — 7 > 13 удовлетворяют все числа, которые при уменьшении на 7 равняются 13 или более. Неравенства решаются по схожему алгоритму. Пример:

х — 7 >= 13; х — 7 + 7 >= 13 + 7; х >= 20.

Решением этого неравенства является множество всех чисел, больших или равных 20.

Иногда уравнения и неравенства ведут себя по-разному, как, например, в следующем случае.