Фейнмановские лекции по физике. 3. Излучение. Волны. Кванты

Фейнман Ричард Филлипс

Фиг. 31.3. Построение вектора поля прошедшей через материал волны при некоторых значениях t и z.

Тогда можно записать

(31.7)

Подставляя это равенство в (31 6), получаем

(31.8)

Первый член в этом выражении есть просто поле источника, а второй следует приравнять Е_а — полю, создаваемому осцилли­рующими зарядами пластинки справа

от нее. Поле Е_а выражено здесь через показатель преломления n; оно, разумеется, зависит от напряженности поля источника.

· · ·

Смысл сделанных преобразований легче всего понять с по­мощью диаграммы комплексных чисел (см. фиг. 31.3). Отло­жим сперва E_s (z и t выбраны на рисунке такими, что E_s лежит на действительной оси, но это не обязательно). За­держка при прохождении пластинки приводит к запаздыва­нию фазы E_s, т. е. поворачивает E_s на отрицательный угол. Это все равно, что добавить малый вектор Е_а, направленный почти под прямым углом к E_s. Именно такой смысл имеет множитель (-i) во втором члене (31.8). Он означает, что при действитель­ном E_s величина Е_а отрицательная и мнимая, а в общем случае E_s и Ё_а образуют прямой угол.

§ 2. Поле, излучаемое средой

Мы должны теперь выяснить, имеет ли поле осциллирующих зарядов в пластинке тот же вид, что и поле Е_а во втором члене (31.8). Если это так, то тем самым мы найдем и показатель пре­ломления n [поскольку n — единственный фактор в (31.8), не выражающийся через фундаментальные величины]. Вернемся теперь к вычислению поля Е_а , создаваемого зарядами пластин­ки. (Для удобства мы выписали в табл. 31.1 обозначения, которы­ми мы уже пользовались, и те, которые нам понадобятся в дальнейшем.)

Таблица 31.1 обозначения которыми мы пользуемся

ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ _______

E_s поле, создаваемое источником

Е_а поле, создаваемое зарядами пластинки

Dz толщина пластинки

z расстояние по нормали к пластинке

n показатель преломления

w частота (угловая) излучения

N число зарядов в единице объема пластинки

h число зарядов на единицу площади пластинки

q_е заряд электрона

m масса электрона

w₀ резонансная частота электрона, связанного в атоме

Если источник S (на фиг. 31.1) находится слева на достаточно большом расстоянии, то поле E_s имеет одинаковую фазу по всей длине пластинки, и вблизи пластинки его можно записать в виде

(31.9)

На самой пластинке в точке z=0 мы имеем

(31.10)

Это электрическое поле воздействует на каждый электрон в атоме, и они под действием электрической силы qE будут коле­баться вверх и вниз (если e0 направлено вертикально). Чтобы найти характер движения электронов, представим атомы в виде маленьких осцилляторов, т. е. пусть электроны упруго соеди­нены с атомом; это значит, что смещение электронов из нормаль­ного положения под действием силы пропорционально величине силы.

Если вы слышали о модели атома, в которой электроны вращаются по орбите вокруг ядра, то эта модель атома вам покажется просто смешной. Но это лишь упрощенная модель. Точная теория атома, основанная на квантовой механике, утверждает, что в процессах с участием света электроны ведут себя так, как будто они закреплены на пружинах. Итак, предположим, «что на электроны действует линейная возвращающая сила, и поэтому они ведут себя как осцилляторы с массой m и резонансной частотой w₀. Мы уже занимались изучением таких осцилляторов и знаем уравнение движения, которому они под­чиняются:

(31.11)

(здесь F — внешняя сила).

В нашем случае внешняя сила создается электрическим полем волны источника, поэтому можно написать

(31.12)

где q_e — заряд электрона, а в качестве E_S мы взяли значение Е_S = Е₀е^iwt из уравнения (31.10). Уравнение движения элект­рона приобретает вид

(31.13)

Решение этого уравнения, найденное нами раньше, выглядит следующим образом:

(31.15)

откуда

(31.16)

Мы нашли то, что хотели,— движение электронов в пластинке. Оно одинаково для всех электронов, и только среднее положение («нуль» движения) у каждого электрона свое.

Теперь мы в состоянии определить поле Е_а , создаваемое атомами в точке Р, поскольку поле заряженной плоскости было найдено еще раньше (в конце гл. 30). Обращаясь к уравнению (30.19), мы видим, что поле Е_а в точке Р есть скорость заряда, за­паздывающая по времени на величину z/c, умноженная на отри­цательную константу. Дифференцируя х из (31.16), получаем скорость и, введя запаздывание [или же просто подставляя х₀ из (31.15) в (30.18)], приходим к формуле

(31.17)

Как и следовало ожидать, вынужденное колебание электронов привело к новой волне, распространяющейся вправо (на это указывает множитель ехр[iw(t-z/c)]); амплитуда волны про­порциональна числу атомов на единице площади пластинки (множитель h), а также амплитуде поля источника (Е₀). Кроме того, возникают и другие величины, зависящие от свойств ато­мов (q_e , m , w₀).

Самый важный момент, однако, заключается в том, что фор­мула (31.17) для Е_a очень похожа на выражение Е_а в (31.8), полученное нами с помощью введения запаздывания в среде с показателем преломления n. Оба выражения совпадают, если положить

(31.18)

Заметьте, что обе стороны этого равенства пропорциональны Dz, поскольку h — число атомов на единицу площади — равно NDz, где N — число атомов на единицу объема пластинки. Под­ставляя NDz вместо hи сокращая на Dz, получаем наш основ­ной результат — формулу для показателя преломления, выра­женную через константы, зависящие от свойств атомов, и часто­ту света:

(31.19)