Фейнмановские лекции по физике. 3. Излучение. Волны. Кванты

Фейнман Ричард Филлипс

Пусть через антенну проходит ток I, тогда средняя мощность, теряемая в антенне, равна квадрату тока, умноженному на сопротивление. Излучаемая антенной мощность также пропор­циональна квадрату тока, потому что напряженность поля про­порциональна току, а излучаемая энергия пропорциональна квадрату поля. Коэффициент пропорциональности, связываю­щий излучаемую мощность и <I²>, и есть радиационное сопро­тивление.

Интересно узнать, из-за чего возникает радиационное сопро­тивление. Возьмем простой пример: пусть ток по антенне течет попеременно вверх и вниз. Если сообщить заряженному телу ускоренное движение вверх и вниз, то оно начнет излучать (не­заряженное тело при этом энергию не излучает). Раз антенна из­лучает энергию, мы должны совершать над ней работу. Но одно дело показать с помощью закона сохранения энергии, что энер­гия теряется, и совсем другое — ответить на вопрос: против какой силы мы совершаем работу? Это очень интересный и труд­ный вопрос, на который применительно к электронам так и не удалось дать полного и удовлетворительного

ответа. Однако в случае антенн ответ был найден. Вот что происходит в антеннах: поля, создаваемые движущимися электронами в одной части антенны, воздействуют на электроны в другой части. Можно вы­числить действующие силы и найти производимую ими работу, а отсюда получить формулу для радиационного сопротивления. Было бы неправильно утверждать: «Мы можем вычислить», потому что мы еще не изучили законы электричества на малых расстояниях и знаем, каково электрическое поле только на больших расстояниях. Хотя мы привели формулу (28.3), мы еще не можем ею воспользоваться для вычисления поля внутри волновой зоны, потому что эта формула для нас слитком слож­на. Правда, с помощью закона сохранения энергии мы можем получить результат и не зная вида поля на малых расстояниях. (Обращая ход рассуждений, можно найти взаимодействие на малых расстояниях, если известен вид поля на больших расстоя­ниях и если затем воспользоваться законом сохранения энергии; мы, однако, не будем сейчас заниматься этим вопросом.)

Пусть теперь имеется один-единственный электрон; к чему приложена возникающая в нем сила сопротивления? Старая классическая теория представляла электрон в виде маленького шарика, различные части которого взаимодействуют друг с другом. В результате запаздывания при распространении взаи­модействия внутри этого шарика сила оказывается несколько смещенной по фазе относительно скорости движения. Мы знаем, что, когда электрон покоится, «действие равно противодейст­вию». Поэтому внутренние силы уравновешиваются и результирующая сила равна нулю. Но в ускоренном электроне сила, дей­ствующая на переднюю половинку со стороны задней, из-за запаздывания не равна силе, действующей в обратном направ­лении. Запаздывание взаимодействия во времени нарушает баланс сил, и в результате вся система как бы «наступает сама себе на шнурки». Такое объяснение возникновения радиацион­ного сопротивления у движущегося электрона встретилось со многими трудностями и, прежде всего потому, что по совре­менным представлениям электрон вовсе не «маленький шарик»; проблема так и осталась нерешенной по сей день. Тем не менее, даже не зная механизма действия сил, мы можем точно вычис­лить силу сопротивления излучения, т. е. затраты энергии на ускорение заряда.

§ 2. Интенсивность излучения

Вычислим теперь полную энергию, излучаемую зарядом при ускорении. Для общности возьмем случай произвольного уско­рения, считая, однако, движение нерелятивистским. Когда уско­рение направлено, скажем, по вертикали, электрическое поле излучения равно произведению заряда на проекцию запаздыва­ющего ускорения, деленному на расстояние. Таким образом, нам известно электрическое поле в любой точке, а отсюда мы знаем энергию e₀cE², проходящую через единичную площадку за 1 сек.

Величина e₀c часто встречается в формулах распространения радиоволн. Обратную ей величину можно назвать импедансом вакуума (или сопротивлением вакуума); она равна 1/e₀с =377 ом. Отсюда мощность (в ваттах на квадратный метр) есть средний квадрат поля, деленный на 377.

С помощью формулы (29.1) для электрического поля мы по­лучаем

(32.2)

где S — мощность на 1 м², излучаемая под углом q. Как уже отмечалось, S обратно пропорционально расстоянию. Интегри­руя, получаем отсюда полную мощность, излучаемую во всех направлениях. Для этого сначала умножим S на площадь по­лоски сферы, тогда мы получим поток энергии в интервале угла dq (фиг. 32.1). Площадь полоски вычисляется следующим обра­зом: если радиус равен r, то толщина полоски равна rdq, а длина 2prsinq, поскольку радиус кольцевой полоски есть rsinq. Таким образом, площадь полоски равна

(32.3)

Фиг. 32.1. Площадь кольца на сфере, равная 2nrsinQrdQ.

Умножая поток [мощность на 1 м², согласно формуле (32.2)] на площадь полоски, найдем энергию, излучаемую в интер­вале углов q и q+dq; далее нужно проинтегрировать по всем углам q от 0 до 180°:

(32.4)

Необходимо сделать несколько замечаний по поводу этого выражения. Прежде всего, поскольку а' есть вектор, то а'² в формуле (32.5) означает а'·а', т. е. квадрат длины вектора. Во-вторых, в формулу (32.2) для потока входит ускорение, взятое с учетом запаздывания, т. е. ускорение в тот момент времени, когда была излучена энергия, проходящая сейчас через поверхность сферы. Может возникнуть мысль, что энергия действительно была излучена точно в указанный момент вре­мени. Но это не совсем правильно. Момент излучения нельзя определить точно. Можно вычислить результат только такого движения, например колебания и т. п., где ускорение в конце концов исчезает. Следовательно, мы можем найти только полный поток энергии за весь период колебаний, пропорциональный среднему за период квадрату ускорения. Поэтому а'² в (32.5) должно означать среднее по времени от квадрата ускорения. Для такого движения, когда ускорение в начале и в конце обращается в нуль, полная излученная энергия равна интегралу по времени от выражения (32.5).

Посмотрим, что дает формула (32.5) для осциллирующей системы, для которой ускорение а' имеет вид w²x₀е^iwt. Сред­нее за период от квадрата ускорения равно (при возведении

в квадрат надо помнить, что на самом деле вместо экспоненты должна входить ее действительная часть — косинус, а среднее от cos²wt дает ^l/₂):

(32.6)

Эти формулы были получены сравнительно недавно — в начале XX века. Это замечательные формулы, они имели огромное историческое значение, и о них стоило бы почи­тать в старых книгах по физике. Правда, там использовалась другая система единиц, а не система СИ. Однако в конечных результатах, относящихся к электронам, эти осложнения можно исключить с помощью следующего правила соответствия: вели­чина q²_e/4pe₀, где q_е — заряд электрона (в кулонах), раньше записывалась как е². Легко убедиться, что в системе СИ значе­ние е численно равно 1,5188·10^{– 14}, поскольку мы знаем, что

q_e= 1,60206·10^{– 19} и 1/4pe₀= 8,98748·10⁹. В дальнейшем мы будем часто пользоваться удобным обозначением

(32.7)

Если это численное значение eподставить в старые формулы, то все остальные величины в них можно считать опре­деленными в системе СИ. Например, формула (32.5) прежде имела вид Р = ²/₃е²а²/с³. А потенциальная энергия прото­на и электрона на расстоянии r есть q2e/4pe₀r или е²/r, где е=1,5188-10^{– 14} ед. СИ.

§ 3. Радиационное затухание

Заряд, закрепленный на пружине с собственной частотой w₀ (или электрон в атоме), даже в абсолютно пустом простран­стве не сможет колебаться бесконечно долго, поскольку, колеб­лясь, он теряет энергию на излучение. Никаких сил сопротив­ления в обычном смысле этого слова, никакой вязкости здесь нет. Но колебания не будут происходить «вечно», вследствие излучения они будут медленно замирать. А насколько медленно? Определим для осциллятора величину Q, вызванную так назы­ваемым радиационным сопротивлением или радиационным зату­ханием. Для любой колеблющейся системы величина Q равна энергии системы в данный момент времени, деленной на потери энергии, отнесенные к 1 рад:

Если Q задано, то легко получить закон спадания энергии колебаний: dW/dt = (-w/Q)W, откуда следует W =W₀e^{– wt/Q}; здесь W₀ — начальная энергия (при t = 0).

Чтобы найти Q для излучающего осциллятора, вернемся к формуле (32.8) и подставим вместо dW/dt выражение (32.6).