Логика и рост научного знания
Шрифт:
каких допущений о природе «объектов», или «элемен-
тов», и Ь.Мне показалось желательным отказаться
Приложение
даже от допущения о том, что эти «объекты», или «эле-
менты», удовлетворяют законам алгебры (хотя я и
В приложении к этой статье я хочу -сделать заме-
считал, что это имеет место). Поэтому я попытался по-
чания в отношении истории вопроса и несколько заме-
строить систему, включавшую только аксиомы
чаний по поводу аксиоматических систем ^исчисления
рического» характера. Другим стимулирующим факто-
вероятностей.
ром являлось стремление создать такую теорию, в ко-
Различение между субъективной, логической и объ-
– торой формула (4), упомянутая в прим. 1 к настоящей
ективной (статистической) интерпретациями вероят-
статье, то есть
ности, которое я провел в 1934 году в моей книге [12, с. 148—150], часто использовалось для обоснования
р(а,сс)=1,
тезиса о том, что по крайней мере в физике имеет
была бы теоремой. Эта формула, как оказалось, яв-
смысл только статистическое понятие вероятности.
ляется критерием адекватности для логической интер-
(Ныне я бы заменил в этом тезисе термин «статистиче-
претации, и она вообще желательна в силу некоторых
ская интерпретация» на «интерпретация в терминах
общих соображений.
предрасположенности».) Однако в этой же книге я ис-
Первая система такого типа была сформулирована
пользовал в значительной степени также и логическую
мною в работе [6]. Я упростил ее аксиомы в 1956 году
интерпретацию вероятности (в частности, для того что-
(см. [7, соответствующая система аксиом приведена
бы показать, что «содержание=логической невероят-
на с. 191]). Эта упрощенная система и некоторое число
ности»). В 1938 году я выдвинул аргументы в пользу
ее вариантов детально обсуждались в [12, прил. *IV].
«формальной»теории вероятностей, основывающейся
Здесь я приведу еще один из ее вариантов
на некоторой системе аксиом, «конструируемой таким
4 . В этой си-
стеме в качестве неопределяемых терминов исполь-
образом, чтобы имелась возможность... интерпретиро-
– зуются: класс 5 «объектов», или «элементов», а, Ь,...; вать ее при помощи любой из до сих пор предложен-
элемент-произведение abэлементов аи Ь;элемент-до-
ных интерпретаций... а также с помощью еще некото-
рых других интерпретаций» [12, с. 320]. Анализируя
•полнение элемента а.
эти интерпретации с точки зрения потребностей истол-
Система включает три аксиомы5.
кования квантовой теории, я предложил интерпретацию
вероятности в терминах предрасположенности. К тому
4 По сравнению с системой, приведенной в [12, с. 332], настоя-
щая система в аксиоме В сочетает А2, В1 и В2, а С в ней есть
же я установил, что ранее [12, с. 212] я явным образом
утверждение Cs,сформулированное в [12, с. 334].
возражал против такой интерпретации.
5 Мы будем использовать следующие сокращения: «(х)»вместо
По моему мнению, свобода оперирования с различ-
«Для всех элементов из S», «(Ел;)» для «существует по крайней ме-
ными интерпретациями вероятности тесно связана с
Реодин элемент из S,такой, что», «...
– ^...» для «если... то...»,
*·«-*·» для «если, и только если» и «&» для «и».
принятием формального, или аксиоматического, подхо-
58*
435
434
Постулат А.Если аи b— элементы S,то р(а, Ь)—
ленные слева направо. Определение Cd, которым мож-
действительное число и выполняется следующая ак-
но заменить CD, свободно от этого недостатка6: сиома:
Cd p ("a, b) = p(c, с)—p (a, b)– — (Ed) p (с, с) p (d, b).
А (Ее) (Ed) p (а, Ь)Фр (с, а).
В определении BD можно подставить «р(е, е)»вме-
сто второго вхождения «p (а, а)». (При этом A3 из
Постулат В.Если аи b— элементы S, то ab— эле-
[12, с. 332] становится выводимой из BD.) В этом Слу-
мент S,и при условии, что с(следовательно, be)и а
чае можно упростить CD и Cd, записывая «р(а, а)»
также являются элементами S,выполняется следующая
вместо «р(е, е)»или «р(с, с)».
аксиома:
По сравнению с системой, приведенной в [12, с. 332] т
В (р(а,а) = р (be, d) &p (be, c) = p(d, с))— –