Наука логики
Шрифт:
{357}
в фигурах, имеющих равные основания и высоты, сравнивает пропорции между линиями, проведенными параллельно основанию и на равном расстоянии от него; все такие линии некоторой фигуры имеют одинаковое определение и составляют весь ее объем. Таким образом Кавальери доказывает, например, и ту элементарную теорему, что параллелограмы, имеющие одинаковую высоту, относятся между собою, как их основания; каждые две линии», проведенные в обеих фигурах на одинаковом расстоянии от основания и параллельные ему, относятся между собою, как основания этих фигур; следовательно, так же относятся между собою и целые фигуры. В действительности линии не составляют объема фигуры как непрерывной, а составляют этот объем, поскольку он должен определяться арифметически; линейное есть тот его элемент, единственно только посредством которого должна быть постигнута его определенность.
Это приводит нас к тому, чтобы поразмыслить о различии, имеющем место касательно того, в чем состоит определенность
Но в параллелограмах с равными высотами» и основаниями лишь последняя определенность есть внешняя граница.
Высота, а не вообще параллельность, на которой основано второе главное определение фигур, их отношение, прибавляет к внешней границе еще второй принцип определения. Эвклидово доказательство равенства параллелограммов, имеющих равные высоты «и оснований, приводит их к треугольникам, к внешне ограниченным непрерывным; в доказательстве же Кавальери, и прежде всего в доказательстве пропорциональности параллелограмов, граница есть вообще, определенность величины, кап таковая раскрывающаяся, на любой паре линий, проведенных в обеих
{358}
фигурах на одинаковом расстоянии. Эти» равные или находящиеся в одинаковом отношении к основанию линии, взятые совокупно, дают находящиеся в одинаковом отношении фигуры. Представление об агрегате линий противоречит непрерывности фигуры; но рассмотрение линий исчерпывает полностью ту определенность, о которой идет речь. Кавальери часто отвечает на могущее быть выдвинутым возражение, будто представление о неделимых приводит к тому, что мы- должны сравнивать между собою бесконечные по своей численности линии или поверхности (Qeom., Hb. И, prop. I, Schol.); on проводит правильное различие, говоря, что он сравнивает между собою не их численность, которую мы не знаем — правильнее сказать: не их численность, которая, как мы заметили выше, есть вспомогательное пустое представление, а лишь величину, т. е. количественную определенность как таковую, которая равна занимаемому этими линиями пространству; так как последнее заключено в границах, то и эта его величина заключена в тех же границах; непрерывное, говорит он, есть не что иное, как сами неделимые; если бы оно было нечто, находящееся вне их, то оно не могло бы быть сравниваемо; а ведь было бы несообразно сказать, что ограниченные непрерывные несравнимы между собою.
Как видим, Кавальери хочет провести различие между тем, что принадлежит к внешнему существованию непрерывного, и тем, в чем состоит его определенность, и что единственно и следует выделять в целях сравнения и для получения теорем о нем. Категории, которые он употребляет при этом, говоря, что непрерывное сложено из неделимых или состоит из них и т. п., разумеется, неудовлетворительны, так как при этом приходится утверждать вместе с тем созерцаемость непрерывного или, как мы сказали выше, его внешнее существование; вместо того, чтобы сказать, что «непрерывное есть не что иное, как сами неделимые», было бы правильнее и, стало быть, само по себе сразу ясно, сказать, что определенность величины непрерывного есть не что иное, как определенность величины самих неделимых. — Кавальери не придает никакого значения плохому,
{359}
выводу, что, стало быть, существуют-де большие и меньшие бесконечные, выводу, делаемому школой, из представления, что неделимые составляют непрерывное, и он определенно выражает далее (Oeom., ub. VII, praef.) уверенность в том, что он своим способом доказательства отнюдь не вынуждается представлять себе непрерывное сложенным из неделимых; непрерывные лишь следуют пропорции неделимых. Он, говорит о своем методе Кавальери, берет агрегаты неделимых но с той стороны, с какой они кажутся подпадающими под определение бесконечности, как представляющие собою бесконечное множество линий или плоскостей, а лишь постольку, поскольку они имеют некоторый определенный характер и природу ограниченности. Но чтобы устранить и этот камень преткновения, он вое же в специально для этого прибавленной седьмой книге не жалеет труда, доказать основные теоремы своей геометрии таким способом, который остается свободным от примеси бесконечности. — Этот способ сводит доказательства к вышеупомянутой обычной форме наложения фигур, т. е., как мы заметили выше, к представлению об определенности как о внешней пространственной границе.
Относительно этой формы наложения можно, прежде всего, сделать еще и то замечание, что она есть, так сказать, ребяческая помощь чувственному созерцанию. В элементарных теоремах о треугольниках представляют их два рядом, и, поскольку в каждом из них из шести частей известные три принимаются равными соответствующим трем частям другого треугольника, показывается, что такие треугольники совпадают между собою, т. е., что каждый из них имеет равными с другим также и прочие три части, так как они
Здесь таким образом показывается, что в трех частях опре-
{360}
деленность завершена; стало быть, для определенности как таковой три остальные части представляют собою некоторое излишество — излишество чувственного существования, т. е. созерцания непрерывности. Высказанная в такой форме качественная определенность выступает здесь в своем отличии от того, что предлежит в созерцании, от целого как некоторого непрерывного внутри себя; наложение мешает осознать это различие.
Вместе с параллельными линиями и «в параллелограмах появляется, как мы заметили, новое обстоятельство, заключающееся отчасти в равенстве одних только углов, отчасти же в том значении, которое имеет высота фигур, причем внешние границы последних, стороны параллелограмов, отличны от высоты. При этом делается явственной имеющаяся здесь двусмысленность, состоящая в вопросе о том! в какой мере в этих фигурах — кроме определенности одной стороны, основания, которое есть внешняя граница, — следует в качестве другой определенности принимать другую внешнюю границу (а именно, другую сторону параллелограмм) и в какой мере — высоту. Если даны две такие фигуры, имеющие одинаковые основания и высоты, причем одна из них прямоугольная, а другая с очень острыми углами (и, стало быть,
с очень тупыми углами на другом конце), то последняя фигура легко может показаться созерцанию большей, чем первая, поскольку созерцание берет предлежащую большую сторону как определяющую и поскольку оно согласно способу представления Кавальери сравнивает площади по некоторому множеству параллельных линий, которыми они могут быть пересечены. Согласно этому способу представления более длинная боковая сторона остроугольного параллелограма могла бы рассматриваться как возможность большего количества линий, чем то количество линий, возможность которого содержится в вертикальной стороне прямоугольника.
Однако, такое представление не служит возражением против метода Кавальери; ибо представляемое в этих двух параллелограмах с целью сравнения множество параллельных линий предполагает вместе с тем одинаковость их расстояний друг от друга дли от основания, ив чего следует, что
{361}
другим определяющим моментом служит высота, а не другая сторона параллелограма. Но это, далее, меняется, когда мы сравниваем между собою два параллелограма,
имеющие одинаковые основания и «высоты, но не лежащие в одной плоскости и образующие с третьей плоскостью разные углы; здесь параллельные сечения, возникающие, когда представляют себе их пересеченными третьей плоскостью, движущейся параллельно себе самой, уже не одинаково удалены одно от другого, и эти две площади неравны между собою. Кавальери тщательно обращает внимание читателя на это различие, которое он определяет как различие между transitus rectus (прямым переходом) и transitus obliquus (косвенным переходом) неделимых (как в ExerciL I п. XII и сл., — так уже и в Geometr., I, II) и этим он устраняет поверхностное недоразумение, могущее возникнуть с этой стороны. Я припоминаю, что Барроу в своем вышеупомянутом сочинении (Lect. Qeom.,??. 21), хотя также пользуется методом неделимых, но, нарушая его чистоту, соединяет его с перешедшим ог него к его ученику Ньютону и к другим современным ему математикам, в том числе к Лейбницу, допущением возможности приравнять криволинейный треугольник, как например так называемый характеристический, прямоугольному, поскольку оба бесконечно, т. е. очень малы, — я припоминаю, что Барроу приводит идущее именно в том же направлении возражение Такэ, остроумного геометра того времени, также пользовавшегося новыми методами. Указываемое последним затруднение касается также вопроса о том, какую линию, — а именно при вычислении конических и сферических поверхностей— следует принимать за основной момент определения для рассуждения, основанного на применении дискретного. Такэ возражает против метода неделимых, что при вычислении поверхности прямоугольного конуса по этому атомистическому методу тот треугольник, который получается при продольном рассечении конуса, изображается: составленным из прямых линий, параллельных основанию, перпендикулярных к оси и представляющих собою вместе с тем радиусы тех кругов, из которых состоит поверх362 ность конуса. Но если эта поверхность определяется как сумма окружностей, а эта сумма определяется из числа их радиусов, т. е. из длины оси конуса, ив его высоты, то получаемый результат противоречит найденной и доказанной Архимедом истине. В ответ на это возражение Барроу, напротив, показывает, что для определения поверхности конуса не его ось, а сторона того треугольника, который получается при продольном рассечении конуса, должна быть принимаема за ту линию, вращение которой производит эту поверхность и которая поэтому, а не ось, должна считаться определенностью величины для множества окружностей.