Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики
Шрифт:
Для N частиц мы бы сложили скорости их всех и разделили на N, то есть
Мы считаем, что все скорости положительны и все частицы движутся в одном направлении. Теперь предположим, что средняя скорость обеих частиц — 2 м/с. Может быть так, что обе движутся со скоростью 2 м/с; что одна движется со скоростью 3 м/с, а другая — 1 м/с; что одна абсолютно неподвижна, а другая движется
Можно сделать вывод, что если известна средняя скорость, область в фазовом пространстве, в которой может двигаться система, снова ограничена. В этом случае скорость любой из частиц не может быть больше четырех; кроме того, скорость одной из частиц определяет скорость другой. Это можно представить следующим образом (скорость первой частицы представлена горизонтально, скорость второй — вертикально).
Как можно заметить, возможные точки ограничены прямой линией. Если мы совместим этот результат с полученным ранее, то увидим, что все возможные точки ограничены некоторой областью фазового пространства, которое в этом случае имеет четыре измерения, по два для каждой частицы.
Описанная ситуация справедлива для любого числа частиц. Объем, температура и давление определяют, в какой области фазового пространства находится газ. Любая из точек этой области порождает значения для характеристик газа — давления, объема и температуры. Итак, при изучении газа мы можем предположить, что наша система начинается в одной из этих точек, но не можем выяснить, в какой именно.
Что произойдет, если мы позволим системе меняться? Останутся ли температура, объем и давление теми же? И если нет, то как они будут меняться? На эти вопросы можно ответить не всегда. Порой попытка найти ответ заставляет обратиться к физике неравновесных систем, о которой мы расскажем в следующей главе.
Поскольку мы не способны определить даже начальное положение нашего газа в фазовом пространстве, нам нужна стратегия, которая позволила бы нам описать его изменение на основании трех величин, которые мы можем измерить: давления, объема и температуры. Для этого мы можем задать вопрос, что происходит со всеми системами, которые находятся в ограниченной области фазового пространства с указанными характеристиками. Кажется нелогичным считать, что описать изменение тысяч миллионов систем легче, чем сделать это для одной. Но здесь в игру вступают теория вероятностей и статистика.
Возьмем груз, привязанный к пружине, как показано на рисунке.
Если мы знаем общую энергию частицы и область в пространстве, в которой она находится, можно выяснить, какие точки в фазовом пространстве совместимы с этими условиями. В нашем случае они распределяются таким образом.
Точки фазового пространства для объекта, привязанного к пружине.
Результат вполне логичен, поскольку траектория частицы в фазовом пространстве — это именно эллипс, как мы видели в главе 2. Если мы позволим нашей системе меняться, она пройдет через все возможные точки в фазовом пространстве, совместимые с этой средней скоростью и энергией.
В целом множество точек в пространстве, совместимых с некоторой температурой, давлением и объемом, будет иметь подобный вид, хоть и в пространстве с большим количеством измерений.
Возможные
Наша система могла бы быть представлена любой из этих точек. Возможно, что при изменении состояния газ пройдет через них, и мы этого не осознаем, поскольку способны измерить только макроскопические величины. Таким образом, имеет смысл изучать поведение каждой системы в рамках интересующей нас области.
Множество систем, совместимых с макроскопическими переменными, которые мы измерили, называется совокупностью. Следующие параграфы посвящены изучению изменения нашей совокупности, которая является не чем иным, как всеми системами, которые могли бы порождаться измеряемыми величинами.
Мы увидели, что невозможно узнать положение и импульс каждой молекулы газа. Однако можно узнать распределение импульсов и скоростей. То есть мы можем знать, какая доля частиц находится в данном месте и движется с определенной скоростью.
Найти распределение импульсов и положений — довольно сложная задача. Однако ее можно облегчить, если мы сосредоточимся на равновесных системах. Равновесие, если речь идет о газах, немного отличается от равновесия в обычно понимаемом виде. Мы говорим, что частица пришла в равновесие, когда она перестает двигаться или движется с постоянной скоростью, и это означает, что на нее не воздействует какая-либо сила. В случае с газами их частицы продолжают двигаться под воздействием силы, которую на них оказывают стенки сосуда. Однако мы можем говорить о состоянии равновесия: если мы позволим нашей системе развиваться в течение бесконечного времени, наступит момент, когда макроскопические изменения больше не будут наблюдаться. Тогда мы скажем, что наступило равновесие. Газ придет в равновесие, когда прекратится обмен энергией и материей с внешним миром.
Заметьте: это не значит, что система не развивается. Поскольку молекулы движутся постоянно, частицы газа описывают траекторию в фазовом пространстве. Но эта траектория не приведет к макроскопическому состоянию, несовместимому с общей энергией, которой обладает газ, поскольку нет притока энергии извне.
Итак, траектория частиц ограничена некоторой областью в фазовом пространстве. Мы хотим увидеть, можно ли сделать какой-то вывод о движении газа в состоянии равновесия по области фазового пространства, которой он ограничен. Вначале мы должны убедиться в том, что как бы ни менялось состояние, газ никогда не выйдет за пределы этой области, поскольку это будет означать, что газ вышел из состояния равновесия.
Обратим внимание на точки границы нашей области в фазовом пространстве. Эти точки представляют собой границу нашей системы: если бы наш газ находился вне их, мы могли бы замерить изменение одной из макроскопических переменных, которые мы контролируем. Теперь возьмем точку из середины, как показано на рисунке.
Возможно ли развитие системы таким образом, чтобы эта точка оказалась вне нашей области?
Предположим, что точка внутри области может двигаться по траектории, которая вывела ее за границу. Это означало бы, что в какой-то момент траектория, пройденная точкой на границе, и наша система пересеклись бы. Но в предыдущей главе мы видели, что это невозможно: классическая физика основана на идее о том, что в каждый момент времени Вселенная меняется по определенным законам, и эти законы не предполагают больше одного варианта развития событий, иначе это привело бы к непредсказуемости мира. Значит, две одинаковые точки должны двигаться сходным образом. Следовательно, точка внутри никогда не сможет пересечь контур, и все точки внутри области останутся в ней. А поскольку никакая внешняя система не может войти в область и никакая внутренняя не может выйти, число систем нашей области должно оставаться постоянным.