Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики
Шрифт:
где S — энтропия, k — постоянная Больцмана и W — число микросостояний.
В популярной литературе часто встречается объяснение энтропии как хаоса. Теперь, когда мы знаем связь между энтропией и числом микросостояний, мы можем понять, почему это происходит. Самый простой способ увидеть это — обратить внимание на доску, покрытую шашками.
Предположим, что мы ставим шашки в порядке, как показано на рисунке.
Каково
Остальные конфигурации будут более беспорядочными, чем эта, поскольку нет никаких ограничений, связанных с тем, как следует располагать шашки. Например, конфигурации, показанные ниже, более беспорядочны, чем предыдущая.
Вычислим общую сумму возможных конфигураций всех шашек. Поскольку нам все равно, белая шашка или черная и где она находится, рассмотрим их все одновременно. Для первой у нас будет 64 возможности, для второй — 63, и так далее.
Итак, общее число конфигураций равно 64! Вероятность получения упорядоченной конфигурации равна числу упорядоченных конфигураций, разделенному на общее число конфигураций:
Как видите, упорядоченное положение имеет очень малую вероятность, а хаотичные состояния, напротив, очень вероятны. Поскольку состояния, характеризующиеся высокой энтропией, а также хаотичные состояния имеют очень высокую вероятность, мы можем связать их друг с другом и заключить, что состояния высокой энтропии более хаотичны.
Как мы только что увидели, энтропия пропорциональна числу микросостояний, характерных для макросостояния, в котором находится система. Однако даже зная макросостояние, мы не можем знать микросостояние, и чем выше энтропия системы, тем ниже ее предсказуемость. Предположим, что у нас есть система с 1000 различных микросостояний. Если мы знаем, что в этот момент она находится в первом, мы можем быть уверены только в том, что в следующий момент она будет находиться в одном из других 999. Но если у нас есть система только из десяти состояний, мы знаем, что есть только девять возможностей, начиная с текущего момента, то есть такая система более предсказуема.
Можем пойти еще дальше и задать вопрос, какова минимально возможная энтропия для любой системы и какому количеству микросостояний она соответствует.
Вспомним, что энтропия равна:
S = k·logW,
где
Есть и другой способ понимания энтропии, который может быть адаптирован для применения за пределами физики — в рамках теории информации. Речь идет о понимании энтропии как недостающей информации о системе, то есть о степени нашей неосведомленности.
Как было видно в предыдущей главе, обычно мы знаем давление, температуру и объем газа, но при этом не знаем всего остального, то есть мы обладаем смехотворным количеством информации, необходимой для описания состояния системы.
Пусть даже эта информация — единственно значимая для прогнозирования, но она остается крайне малой по сравнению со всей информацией о рассматриваемом газе. Главную роль в способе описания энтропии снова играет число доступных микросостояний. Если в системе миллион состояний и мы не знаем, в каком из них она находится, степень нашей неосведомленности намного больше, чем если бы в ней было только десять состояний. Итак, мы знаем о системе с высокой энтропией намного меньше, чем о системе с низкой энтропией.
Какой же смысл в том, чтобы принимать энтропию за информацию? Информации нужен наблюдающий субъект — это не что-то, что можно потрогать. Когда мы говорим «энтропия системы — это степень нашей неосведомленности о ней», кажется, будто мы утверждаем, что энтропия не имеет реального существования во Вселенной, это просто человеческое понятие, которое измеряет то, что мы знаем, и не более.
Действительно, есть системы, для которых понятие энтропии не имеет смысла. В системе, состоящей из предмета, прикрепленного к пружине, и самой пружины, нет никакой энтропии: само это понятие неприменимо к ситуации. Энтропия — макроскопическая величина и сама по себе применима только для скоплений частиц. Однако в фундаментальных законах Вселенной о ней нет никакого упоминания: речь идет о статистическом понятии, которое помогает нам осмыслить некоторые характеристики сложных систем.
Именно понимание энтропии как меры информации привело американского математика Клода Шеннона (1916–2001) к использованию ее в качестве ключевого элемента в своей теории информации.
Предположим, что мы опаздываем на ужин с нашей второй половинкой и хотим послать ей сообщение: «Сегодня я опоздаю на ужин». Для этого наш мобильный телефон должен обработать информацию, содержащуюся в нашем сообщении, перевести ее в электрические импульсы и послать ее с помощью электромагнитных волн. Телефонной компании хотелось бы использовать минимальное количество энергии для передачи нашего сообщения, поскольку энергия стоит денег. Так что ей нужно знать минимальное количество информации, которое должно быть зашифровано.