Современная космология: философские горизонты

Коллектив авторов

В области очень малых пространственно-временных масштабов, как и в области очень больших, свойства континуума могут очень радикально отличаться от привычных. Не только метрические соотношения могут быть иными, сами метрические понятия могут оказаться ограниченно или вовсе неприменимыми (неметризуемое топологическое пространство). Мало этого. Если, например, пространство микромира, начиная с каких-то масштабов, дискретно, то придется считаться с нарушением такого фундаментального топологического инварианта, как размерность пространства (число его измерений): дискретное пространство не трехмерно, а нульмерно. Если бы на основе каких-либо априорных соображений или нашего предыдущего опыта можно было предсказать, какие из известных свойств пространства-времени сохранятся в ультрамикроскопических масштабах (например, топологическое свойство — непрерывность), то можно

было бы сэкономить миллиарды на строительстве ускорителей. К сожалению, это не так. Источником всех знаний, в том числе и философских, является опыт. На основе нового опыта нам много-много раз придется пересматривать наши представления о пространстве и времени, в том числе и философские представления. В соответствии с известным положением Энгельса, это придется делать «с каждым крупным открытием естествознания» в этой области.

2.6. Теоретико-множественная бесконечность. По современным представлениям топологические свойства пространства-времени — это наиболее общие его свойства, сохраняющиеся при наиболее глубоких деформациях (преобразованиях). Более общих геометрических свойств мы сейчас не знаем. И все же, возможен еще более общий, — так сказать, общематематический подход к проблеме. Поскольку всю современную математику проникают понятия и методы теории множеств, такой подход является теоретико-множественным.

Но в современной математике топология и теория множеств настолько переплетаются между собой и с другими разделами математики, что определить точные границы их компетенции затруднительно. Столь же трудно провести грань между геометрией и остальной математикой. По словам акад. А.Н. Колмогорова, «вся та часть математики, в которой играет роль непрерывность, грозит сделаться геометрией, так как множество любых математических объектов (например, функций), в котором могут быть установлены топологические соотношения, может быть объявлена пространством. Таким образом, вместе с геометризацией всей непрерывной математики намечается исчезновение геометрии как самостоятельной и до известной степени противоположной всей остальной математике науки».

«Заметим здесь, — продолжает А.Н. Колмогоров, — что развитие общих геометрических идей в значительной мере задерживалось философскими спорами о природе пространства… Зато только после окончательного установления понятия абстрактного математического пространства приобрел ясный смысл и вопрос об устройстве физического пространства. Теперь вопрос этот ставится в такой форме: какое из многочисленных могущих быть построенными абстрактных математических пространств отражает с точностью, соответствующей нашим экспериментальным возможностям, строение физического пространства? Ответ на этот вопрос, естественно, может эволюционировать с ростом наших знаний» [370] .

370

Колмогоров А.Н. Сборник статей по философии математики. М., 1936. С. 10.

Что существенно нового вносит теория множеств в решение проблемы бесконечности?

Следует прежде всего подчеркнуть тесную связь теории множеств с этой проблемой. Сама теория возникла из стремления решить именно эту проблему. Можно сказать вместе с Э. Кольманом, что, «когда математики сделали серьезную попытку преодолеть затруднения и противоречия, вызванные в математике понятием бесконечности, они создали теорию множеств» [371] .

Теория множеств устранила те противоречия, для устранения которых она была создана, но отнюдь не противоречия вообще. На место устраненных противоречий встали новые, более глубокие, но они относятся не столько к сфере математики, сколько метаматематики, в частности, к проблемам оснований математики и математической логики).

371

Кольман Э. Предмет и метод современной математики. М., 1936. С. 71.

Чтобы не отходить от основного — космологического — стержня доклада, целесообразно ограничиться перечислением лишь тех новых аспектов в понимании бесконечного, которые существенны для дальнейшего изложения.

Теория множеств позволяет охватить с единой точки зрения все рассмотренные до сих пор аспекты бесконечности. В частности, она разрешила те «непостижимые загадки математики», которые были упомянуты выше и связаны, прежде всего, с понятием предела в анализе. Как замечает Г. Вейль, «все грандиозное здание анализа приобрело несокрушимую крепость, оказываясь прочно заложенным и строго обоснованным во всех своих частях. Понятия анализа приобретают точность, а доказательства — безупречную последовательность» [372] .

372

Вейль Г. О философии математики. М.-Л., 1934.

Теория множеств впервые в истории науки доказала возможность дать положительное определение бесконечности. До этого бесконечность могла определяться лишь отрицательным образом — как то, что не есть конечное, как выход за всякое конечное и т. п. Конечное, однако, само есть отрицание бесконечного. Получается порочный круг. Теоретико-множественное понимание бесконечности не связано с установлением и снятием какого-либо предела. Определяющая черта бесконечного множества, отличающая его от конечного, это то, что в нем существует подмножество, эквивалентное (равномощное) самому множеству. Я рискну сформулировать это так: для бесконечности существует такое качество, которое снимает в нем количественные различия. Таким образом, бесконечность не просто связана с категорией меры, что отчетливо видно уже на примере рассмотренных выше менее общих типов бесконечности, она порождает свою особую, специфическую меру. Существование «меры вещей» обнаруживается в том, что изменение количества только до определенной границы остается безразличным для качества. Но количество, развитое до предела и за всякий предел, теряет свое значение, переходит в чистое качество, но качество, не свойственное ни одной конечной вещи. Можно было бы сказать, что это есть качество, полученное в результате неограниченных чисто количественных изменений, но изюминка ситуации ведь заключается в том, что в теории множеств бесконечность не есть процесс или результат процесса, а нечто существующее, так сказать, изначально и в готовом виде. Мера здесь выступает как «статическое» единство качества и количества, но качественная определенность выражена столь ярко, что стирается значение количественной. Такое понимание бесконечности резко расходится не только с античным (бесконечность — определенное очень большое количество), но и вообще с господствующим и поныне представлением, согласно которому бесконечность есть количественное понятие.

Теория множеств снимает противоположность конечного и бесконечного. Для нее не существует никакой принципиальной разницы между конечными и бесконечными множествами. Элементы множества задаются указанием их свойства, качества. Сказать: «такое-то множество» или «такое-то свойство» — это одно и то же, и не имеет никакого значения, присуще это свойство одному объекту или таких объектов бесконечно много.

Однако теория множеств одновременно резко усиливает противоположность конечного и бесконечного. Они, если угодно, пребывают на разных логических основах. Поскольку бесконечное множество эквивалентно своему под-множеству, то бесконечность явно нарушает аксиому Евклида (и самого «здравого смысла»!) «целое больше части».

Диалектичность теоретико-множественного понимания бесконечности этим отнюдь не ограничивается. Выше было подчеркнуто, что в теории множеств бесконечность есть качественное понятие. Но вместе с тем теория множеств впервые позволила по-настоящему, строго количественно различать разные бесконечности (понятие кардинального числа), более того, выяснила, что сам ряд мощностей бесконечных множеств бесконечен! Однако логика (арифметика) трансфинитных чисел отлична от обычной, так что возврата к чисто количественной бесконечности нет.

2.7. Актуальная и потенциальная бесконечность. В основе теории множеств лежит представление о существовании актуальной бесконечности. Выше это понятие неявно использовалось, разумеется. Но в силу его существенного значения для нашей темы на нем стоит остановиться особо.

До появления теории множеств математическая и философская мысль по существу не могла одолеть апории Зенона, доказывавшие невозможность актуальной (интенсивной, но фактически также и экстенсивной) бесконечности. Космологическая (экстенсивная) форма апории «Ахилл» отчетливо сформулирована в первой антиномии чистого разума Канта.