Избранные научные труды

Бор Нильс Хенрик Давид

=

C

cos 2

(t+

)

и

=

C

_±1

cos 2

((±

_H

)t+

_±1

)

.

(29)

Таким образом, движение атома при наличии поля является типичным дважды периодическим движением с фундаментальными частотами, равными и _H. Поэтому, согласно проведённому в предыдущем разделе анализу, стационарные состояния будут характеризоваться двумя условиями, которые могут быть записаны в виде

I=nh, I

_H

=n

_H

h.

(30)

Здесь I совпадает с величиной, определённой формулой (13), если последнюю применить к периодическому движению атома относительно системы координат, участвующей в вызванном внешним полем

вращении. Величина I_H равняется произведению 2 на компоненту M момента импульса электрона относительно оси этого вращения. В действительности изменение кинетической энергии электрона вследствие этого вращения, как легко видеть, равно в первом приближении 2_HM. Поскольку магнитное поле не изменяет потенциальную энергию атома, разность энергий двух соседних движений будет выражаться соотношением

=

I

+

2

_H

M

=

I

+

_H

I

_H

,

(31)

которое соответствует условию (15). В то же время условие

I

+

_H

I

_H

=

A

,

(32)

которое соответствует (14), как видно, выполняется при любом движении атома в поле. Для полной энергии атома, как функции I и I_H, из формул (3) и (26) получаем

E=-

2²e⁴m

I²

+

eH

4mc

I

_H

,

(33)

откуда после подстановки (30) находим энергию стационарных состояний в виде

E=-

2²e⁴m

h²

1

n²

+

heH

4mc

n

_H

.

(34)

Интересно отметить, что динамическое свойство стационарных состояний, выражаемое первым из условий (30), могло бы быть получено непосредственным применением адиабатического принципа Эренфеста. Действительно, как показал Ланжевен ¹ в его работе по атомному магнетизму, медленное наложение однородного внешнего магнитного поля будет вследствие вызываемых им электрических сил воздействовать на движение системы электронов, вращающихся в центральном поле, таким образом, что движение в любой момент времени будет отличаться от первоначального движения только дополнительным вращением с ларморовской частотой. С другой стороны, из самого характера этой проблемы следует, что появление второго из квантовых условий (30) ни в коем случае не может быть описано с помощью представлений, опирающихся на идеи обычной механики и электродинамики. В самом деле, появление этого условия можно рассматривать как следствие того факта, что наличие внешнего поля приводит к новой фундаментальной частоте в движении, атома; поэтому вступает в игру неизвестный доселе квантовый механизм, ответственный за стабильность стационарных состояний. В результате разности энергий различных возможных состояний, соответствующих одному и тому же стационарному состоянию невозмущённого атома, будут связаны с новой частотой таким же образом, как связаны между собой энергия и частота в стационарных состояниях простых периодических систем ². В специальном случае, рассмотренном нами, добавочное периодическое движение атома, вызванное наложенным полем, носит простой гармонический характер. Интересно отметить, что второй член в правой части равенства (34), равный n_HHh полностью аналогичен первоначальной формуле Планка (16) для возможных значений энергии гармонического осциллятора с той лишь разницей, что в соответствии с характером задачи n_H может принимать как отрицательное, так и положительные значения.

¹ Р. Langevin. Ann. de phys. et de chem., 1905, 5, 70.

² См. I, стр. 11.

Так как максимальное значение M₀, достигаемое моментом импульса электрона, вращающегося вокруг ядра, равно, очевидно, I/2 мы видим, что второе из условий (30) эквивалентно условию

M=

n_H

n

M

₀

,

(35)

из которого немедленно следует, что численное значение n_H никогда не может быть больше n. Мы должны положить, что n_H может принимать любое из значений ±1, ±2, …, ±n, поскольку некоторые соображения, которые мы не имеем возможности подробно рассматривать здесь, приводят к заключению, что значение n_H=0 не отвечает никакому стационарному состоянию. Для частоты излучения, испускаемого при переходе из состояния, в котором n=n' и n_H=n'_H в состояние, где n=n'' и n_H=n''_H, из формулы (4) находим

=

2e⁴m

h²

1

(n'')^2

–

1

(n')^2

+

eH

4mc

(n'

_H

– n''

_H

)

.

(36)

Согласно принципу соответствия, возможность такого перехода зависит от наличия в электрическом моменте атома гармонической

компоненты с частотой (n'-n'') + (n'_H– n''_H)_H. Вспоминая проведённый выше анализ движения электрона, описываемого формулой (29), мы прежде всего отмечаем, что, как и в случае невозмущённого атома, возможны переходы, при которых n изменяется на любое целое число. Однако такие переходы уже не будут приводить к обычным линиям водорода, частоты которых заданы формулой (28). Вместо этого, как видно из (36), мы получаем для каждой из этих линий ряд компонент, соответствующих возможным одновременным изменениям квантового числа n_H. Эти компоненты бывают трёх типов. В первом из них, который определяется линейным гармоническим колебанием, параллельным полю, n_H остаётся неизменным, а потому эти компоненты оказываются в тех же местах в спектре, что и первоначальные линии. Согласно принципу соответствия, излучение, отвечающее этим компонентам, будет таким же, как излучение, испускаемое в соответствии с классической электродинамикой электроном, совершающим линейные колебания параллельно полю. В двух других типах, которые соответствуют круговым гармоническим вращениям, перпендикулярным полю, величина n_H уменьшается или увеличивается на единицу соответственно. Поэтому для каждой спектральной линии водорода получаются две компоненты, расположенные симметрично относительно первоначального положения линии, которые при наблюдении в направлении, параллельном полю, будут характеризоваться круговыми поляризациями противоположного знака.

Мы увидим, что эта интерпретация эффекта Зеемана для спектральных линий водорода формально аналогична первоначальной теории Лоренца, обсуждавшейся в разделе I. Это поистине замечательно, если мы вспомним об огромном различии между идеями классической динамики и постулатами квантовой теории. Однако весьма интересно, что в вопросе об относительных интенсивностях компонент в эффекте Зеемана на свет появляется фундаментальное отличие квантовой теории от классической электродинамики. Согласно классической теории, интенсивности этих компонент определяются условием, чтобы полное излучение каждого триплета не обладало никакой результирующей поляризацией, поскольку ориентация атома в поле не подвержена никаким ограничениям. С другой стороны, в квантовой теории, где наличие таких ограничений является исключительно важной чертой теории, мы можем ожидать обнаружения результирующей поляризации полного излучения каждого триплета даже при слабом магнитном поле. Такая поляризация была действительно обнаружена многими исследователями, занимавшимися эффектом Зеемана. Особенно интересно отметить, что Траубенберг ¹ смог наблюдать результирующую поляризацию обсуждавшегося выше типа в недавних экспериментах по спектру водорода, полученному в опытах с положительными лучами в магнитном поле.

¹ R. v. Traubenberg. Naturwiss., 1922, 10, 791.

Действие электрического поля

При изучении влияния однородного электрического поля на спектр водорода первой проблемой, которую мы исследуем, будет воздействие поля на движение атома. Как и в случае магнитного поля, мы сталкиваемся здесь с вопросом о малых возмущениях периодической орбиты. Но там теорема Лармора помогла нам мгновенно распознать характер возмущений. В случае электрического поля задача оказывается значительно более сложной. Это поле не только приводит к изменениям в ориентации орбиты в пространстве, но и к непрерывному изменению формы орбиты. Тем не менее проблема допускает простое решение за счёт использования некой общей теоремы теории возмущений.

Рассмотрим систему, в которой каждое движение является периодическим. Пусть эта система подвержена воздействию слабого внешнего поля. В этом случае движение можно рассматривать как периодическое, отличающееся в каждый данный момент от возможного движения невозмущённой системы на малую величину, пропорциональную напряжённости внешнего поля. В то же время форма и положение орбиты медленно изменяются со скоростью, которая также пропорциональна этому полю. Изучение этих изменений в движении за большие интервалы времени, известных в небесной механике под именем «секулярных возмущений», позволяет чётко понять, как внешнее поле воздействует на свойства периодичности движения. Фундаментальный закон, определяющий ход секулярного возмущения, вызванного заданным силовым полем, можно сформулировать в виде упомянутой выше общей теоремы; эта теорема гласит, что при пренебрежении малыми величинами, пропорциональными квадрату возмущающих сил, среднее значение потенциальной энергии системы относительно внешнего поля, взятое за приближённый период движения, остаётся неизменным в течение достаточно большого интервала времени, за который эти силы приводят к конечному изменению формы и положения орбиты. Если мы затем представим себе внешнее поле» которое медленно включается с постоянной скоростью изменения его, то это среднее значение будет в рамках того же приближения описывать разницу между полной энергией возмущённой системы и первоначальным значением энергии этой системы до включения поля ¹.

¹ См. I, стр. 46.

Обращаясь теперь к случаю атома водорода, возмущаемого однородным электрическим полем, мы находим после простых вычислений, что среднее значение потенциальной энергии атома относительно поля такое, как если бы электрон был помещён на большой оси орбиты в точке, разделяющей расстояние между ядром и другим фокусом орбиты в отношении 3:1. Эту точку можно назвать «электрическим центром» орбиты. Из сформулированной выше общей теоремы немедленно следует, что при секулярном возмущении этот центр будет в первом приближении двигаться в плоскости, перпендикулярной направлению внешней электрической силы. Более подробное исследование секулярного смещения электрического центра орбиты в этой плоскости легко провести, просто рассматривая секулярные изменения момента импульса электрона относительно ядра, вызванные силами; оно показывает, что электрический центр совершает строго гармоническое, вообще говоря, эллиптическое колебание, симметричное по отношению к оси, проходящей через ядро параллельно внешнему полю. Более того, частота этого колебания не зависит от формы и ориентации орбиты электрона, а зависит лишь от величины I, определяемой для периодической орбиты формулой (13); эта частота в пренебрежении малыми величинами, пропорциональными внешней силе, конечно, не будет изменяться при действии возмущения. Обозначая её через _F, имеем