Избранные научные труды
Шрифт:
.
(16)
Можно также легко показать, что в случае атома водорода равенство (12) эквивалентно формуле (8), если в последней подставить значение K, заданное формулой (10). Действительно, замечая, что W = при I = 0, получаем из (7) и (15) после интегрирования
W=
22e2m
I2
(17)
Общие соотношения (12) и (15) позволяют нам далее проследить на более широкой основе формальную асимптотическую связь между движением атомной системы и спектром, получаемым в квантовой теории, рассмотренной в предыдущем разделе для специального случая атома водорода.
Рассмотрим
=
1
h
(E'-E'')
=
1
h
n=n'
n=n''
I
.
(18)
Если теперь числа n' и n'' велики по сравнению с их разностью, а следовательно, движения в этих двух состояниях отличаются сравнительно мало друг от друга по частоте и размерам орбит, то мы можем рассматривать со в формуле (18) как приблизительно постоянную величину и, таким образом, также используя (12), получить асимптотическое соотношение
~(n'-n'')
.
(19)
В этом пределе больших квантовых чисел частота испущенного во время перехода излучения будет, следовательно, совпадать асимптотически с частотой одной из гармонических компонент излучения, которое, согласно классической теории, испускалось бы атомом вследствие изменения во времени его электрического момента, а именно с частотой волн, соответствующих гармонической компоненте в разложении (11), у которой = n'-n'' Теперь, конечно, уже не возникает никакого вопроса о постепенном приближении квантовой теории в пределе больших квантовых чисел к классическим идеям о происхождении излучения. Действительно, так же, как и в случае, когда эти числа не велики по сравнению с их разностью, мы предположим в этом пределе, что разные гармонические компоненты излучения, которые испускались бы одновременно в классической теории, будут возникать в совершенно различных процессах перехода между разными парами стационарных состояний. Именно это обстоятельство заставляет нас рассматривать совпадение частот, замеченное в этом пределе, как доказательство общего закона, управляющего появлением переходов между стационарными состояниями.
Этот закон, который был назван «принципом соответствия», устанавливает, что появление каждого перехода между двумя стационарными состояниями, сопровождающегося испусканием излучения, скоррелировано с одной из гармонических компонент, на которые может быть разложен электрический момент атома, рассматриваемый как функция времени, в том отношении, что появление перехода обусловлено наличием «соответствующего» гармонического колебания. Эта корреляция требует, чтобы вероятность появления перехода зависела от амплитуды соответствующего гармонического колебания атома таким образом, чтобы в предельном случае больших квантовых чисел интенсивность испускаемого излучения в единицу времени в среднем была такой же, как и получающаяся из законов классической электродинамики. Подобная связь с классической теорией будет существовать и для поляризации испущенного излучения. Если, например, соответствующее гармоническое колебание во всех состояниях атома описывается линейным колебанием или же вращением по кругу, то излучение будет иметь тот же состав, что и излучение, которое испускалось бы, согласно классической теории, электроном, совершающим гармоническое колебание того же самого типа.
В рассмотренном выше случае некоторой периодической системы принцип соответствия устанавливает, что появление перехода между двумя стационарными состояниями, при котором квантовое число меняется с n' на n'', обусловлено наличием в электрическом моменте атома (n' - n'')-й гармоники. Этот результат позволяет нам пролить свет на заметное отличие между правилами, управляющими появлением переходов между двумя стационарными состояниями в случае планковского осциллятора, с одной стороны, и атома водорода — с другой. В планковской теории теплового излучения так же, как и в классической теории, содержится важное предположение о том, что частота излучения, испускаемого или поглощаемого осциллятором, всегда будет равна характерной частоте
Благодаря недавнему продвижению в квантовой теории оказалось возможным установить правила квантования не только для простых периодических систем, но также и для систем, в которых движение носит так называемый многократно-периодический характер. Для таких систем смещение каждой частицы, как и изменение электрического момента, может быть ещё описано в виде суперпозиции гармонических колебаний. В отличие от случая простой периодической системы частоты этих колебаний не являются целыми кратными одной фундаментальной частоты, а представляют собой в случае многократно периодической системы со «степенью периодичности», равной s, линейные комбинации независимых фундаментальных частот и, таким образом, описываются формулой
=
C
1,…,s
cos 2
[
(
1
1
+…+
s
s
)
t+
1,…,s
],
(20)
где 1,…,s — фундаментальные частоты, а суммирование ведётся по всем отрицательным и положительным значениям целых чисел 1,…,s.
В этом случае стационарные состояния будут задаваться квантовыми условиями
I
1
=n
1
h,
…,
I
s
=n
s
h,
(21)
где n1, …, ns — положительные целые числа. Величины Ii представляют собой набор величин, выражающих определённые свойства движения. Для периодической системы они по аналогии с определением величины I связаны с энергией и фундаментальными частотами движения дифференциальным соотношением
E
=
1
I
1
+…+
s
I
s
,
(22)
описывающим разность энергий двух механически возможных движений системы, которые отличаются очень мало друг от друга. Эти соотношения определяют величины I1, …, Is с точностью до произвольной постоянной, которая задаётся условием
I
1
+…+I
s
=
A
,
(23)
где A, как и в формуле (14), означает среднее значение той функции A, которая появляется в интеграле действия.
Рассмотрим переход системы между двумя состояниями, квантовые числа которых заданы в (21) наборами n'1, …, n's и n''1, …, n''s соответственно в пределе, когда эти квантовые числа велики по сравнению с их разностями. Тогда при сравнительно малом отличии движений в этих двух стационарных состояниях из формулы (22) для частоты излучения, испускаемого при переходе, находим асимптотическое соотношение