Избранные научные труды

Бор Нильс Хенрик Давид

W=

Kh

n^2

(8)

мы получим следующие выражения для частоты обращения и для большой оси орбиты в этих состояниях

=

1

n³

2Kh³

²e⁴m

1/2

, 2a

=

n

²

e²

Kh

.

(9)

Эти формулы приводят к картине образования атома с помощью ступенчатого процесса, когда электрон,

испуская излучение, оказывается последовательно связанным на ряде стационарных орбит со всё более возрастающими частотами и с уменьшающимися размерами, пока он не достигает состояния, в котором энергия атома минимальна. На этом процесс образования атома заканчивается; это состояние соответствует величине n = 1 в формуле (9). Подставляя в формулы (9) эмпирические значения K, а также e, m и h, можно найти частоту обращения и длину большой оси орбиты в этом «нормальном» состоянии атома, которые оказываются того же порядка величины, что и значения атомных частот и размеров, полученные из рассмотрения оптических и механических свойств газов.

Однако в рамках наших фундаментальных постулатов не возникает никакого вопроса о более тесном непосредственном сравнении формул типа (9) с формулами, выведенными в классической электродинамике. В частности, может оказаться, что нет никакого прямого соответствия частот стационарных состояний и частот спектральных линий, так как мы предположили, что каждая из этих линий соответствует излучению, испущенному при переходе между двумя состояниями, в которых частоты обращения могут, вообще говоря, иметь совсем разные значения. Однако возможность проследить связь спектра с движением частиц возникает вследствие того, что отношение частот обращения для двух следующих друг за другом стационарных состояний приближается к единице по мере роста n. Из формулы (6) получаем (в первом приближении) выражение для частоты излучения, испускаемого при переходе между двумя соседними состояниями при больших значениях n,

= 2K/n^3

Сравнивая с формулой (9), мы находим, что это выражение асимптотически совпадает с частотой вращения в этих двух состояниях, если положить

K=

2²e⁴m

h³

.

(10)

Как я показал в цитированной выше статье, это условие действительно выполняется в пределах экспериментальных ошибок, если мы подставим в него эмпирические значения K, а также h, e и m ¹.

¹ См. также: R. A. Millikan. Phil. Mag., 1917, 34, 1.

Таким образом, установленная связь между водородным спектром и величинами, описывающими модель атома водорода, оказывается настолько тесной, насколько этого можно было бы ожидать, учитывая существенный отход от классической электродинамики, содержащийся в нашей интерпретации спектров. Это различие становится ясным, как только мы переходим к объяснению воздействия магнитных и электрических полей на спектральные линии водорода. Здесь мы сталкиваемся с проблемой, совершенно отличной от той, с которой встречаются, когда имеют дело с веществом в классической теории излучения. Детальное объяснение эффекта Штарка не удалось бы получить с помощью таких простых соображений, которых достаточно для интерпретации основных характеристик водородного спектра. Тем не менее оказалось возможным не только объяснить, что смещения компонент линий прямо пропорциональны напряжённости электрического поля, но и получить абсолютную величину эффекта, а также описать характерное изменение его от линии к линии в спектре ². Однако для более полного объяснения деталей эффектов Штарка и Зеемана потребовалось развить методы определения стационарных состояний атома, находящегося под воздействием внешних полей, а также сформулировать правила, которым подчиняются переходы между стационарными состояниями и поляризация испускаемого при этом излучения. Интересно заметить, что в случае эффекта Зеемана, для которого классическая теория предложила столь простую интерпретацию основных характерных черт, в течение некоторого времени существовало сомнение в том, может ли этот эффект вообще быть объяснён с помощью постулатов, сформулированных в указанном выше виде. В действительности легко видеть, что частоты компонент, на которые расщепляются линии под действием поля, не могут быть представлены полной комбинационной диаграммой спектральных термов. Как мы сейчас увидим,

последовательная теория эффекта Штарка, а также эффект Зеемана для водородных линий была сформулирована в процессе развитии квантовой теории за последние годы.

² N. Bohr. Phil. Mag., 27, p. 506 (1914) (статья 9); 30, p.394 (1915) (статья 12); см. также: E. Warburg. Verh. Deut. Phys. Ges., 15, p. 1259, 1913.

IV. УСЛОВИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ И МНОГОКРАТНО ПЕРИОДИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИЯХ

Формальной основой применения квантовой теории к атомным проблемам служит ряд формул, которые вместе с формулой (4), часто называемой «условием частот», позволяют нам отобрать стационарные состояния среди всех механически возможных движений частиц атома. Эти формулы, так называемые правила квантования ¹, могут рассматриваться как рациональные обобщения предположения, первоначально использованного Планком, о возможных значениях энергии системы, состоящей из частиц, совершающих простые гармонические колебания. Хотя, естественно, определение энергии стационарных состояний является весьма важной задачей теории, сама по себе энергия не удобна для общей формулировки «правил квантования» в случае более сложных систем. С этой целью удобнее использовать так называемый интеграл действия, который играет столь важную роль в аналитической динамике.

¹ Н. Бор использует для них термин «state-relations», что в дословном переводе означало бы «соотношения состояния».
– Прим. перев.

Рассмотрим сначала простой случай, когда движение частиц атома периодическое и не зависит от начальных условий. В этом случае смещение каждой частицы в данном направлении, как функция времени, может быть выражено известным способом в виде суперпозиции ряда гармонических колебаний

=

C

cos 2(t+

)

,

(11)

где — частота периодического движения, а суммирование ведётся по всем положительным целым значениям . Конечно, подобное выражение может быть записано и для компоненты электрического момента атома в этом направлении. В классической теории изменение этого момента во времени определяет характер испущенного излучения. Для столь простой системы, совершающей периодическое движение, её стационарные состояния задаются одним условием, которое можно записать в виде

I = nh,

(12)

где h — постоянная Планка, а n — положительное целое число, так называемое квантовое число. Величина I определяется как

I=

Adt

,

(13)

где интеграл, называемый интегралом действия, берётся по полному периоду движения. Если предположить, что движение подчиняется законам классической механики, то подынтегральная функция A равна удвоенной кинетической энергии движущихся частиц (A = mv^2), тогда как при учёте модификаций, вводимых теорией относительности, A задаётся выражением вида

A=

mv^2

1-

v^2

c^2

– 1/2

.

С учётом последующих обсуждений следует заметить, что это определение I тождественно условию

I =

A

,

(14)

где A означает среднее значение функции A за время движения. В то время как связь между I и полной энергией E для разных систем может принимать весьма разные формы, она всегда будет подчиняться простому дифференциальному соотношению

E = ·I

,

(15)

где E и I означают разности значений E и I для двух механически возможных движений системы, которые весьма мало отличаются друг от друга.

Из соотношений (4) и (15) немедленно видно, что в случае простого гармонического осциллятора с постоянной частотой ₀, движение которого описывается формулой (1), равенство (12) эквивалентно известному соотношению Планка

E = nh

₀