Избранные научные труды

Бор Нильс Хенрик Давид

_F

=

3I

8^2em

F

,

(37)

где F — напряжённость электрического поля ².

Прежде чем переходить к определению стационарных состояний, мы исследуем, какое отношение эти результаты имеют к разложению движения электрона на гармонические компоненты. С этой целью рассмотрим движение относительно системы координат, совершающей равномерное вращение вокруг оси рассматриваемой системы в том же направлении, в котором вращается её электрический центр, с частотой . Вследствие гармонического характера колебаний электрического центра это движение может быть, очевидно, описано как движение по периодической орбите, форма и положение которой будут меняться с частотой, равной 2_F. Такое движение будет двукратно периодическим с частотами ₁ и ₂, где ₂ можно положить равной 2_F, тогда как ₁ равна средней частоте обращения электрона по его приблизительно периодической орбите, вычисленной от перигелия до перигелия. Эта частота в используемой системе координат, очевидно, равна средней

частоте обращения электрона вокруг оси. Поэтому движение можно рассматривать как суперпозицию эллиптических гармонических колебаний с частотами ₁₁ + ₂₂, где ₁ и ₂ — целые числа. Возвращаясь теперь к неподвижной системе координат, мы видим, что движение может быть разложено на последовательность линейных гармонических колебаний вдоль оси с частотами ₁₁ + ₂₂ и две последовательности круговых гармонических вращений вокруг этой оси с частотами ₁₁ + ₂₂±_F. Введём теперь в качестве фундаментальных частот возмущённого движения величины и _F, где — средняя частота вращения электрона вокруг оси, равная поэтому ₁+_F или ₁+_F, в зависимости от того, вращается электрический центр в том же направлении вокруг оси, что и сам электрон, или же в обратном ему. Обозначив смещение электрона, параллельное оси, через , мы получим

=

C

_,F

cos 2

[

t(+

_F

_F

)

+

C

_,F

],

(38)

где величина +_F, равная 2(₁+₂) или 2₂, всегда должна быть чётным целым числом. Для смещения в направлении, перпендикулярном оси, находим аналогичное выражение

=

D

_,F

cos 2

[

t(+

_F

_F

)

+

d

_,F

],

(39)

где величина +_F, равная 2(₁+₂)±1 или 2₂±1, всегда должна быть нечётным целым числом.

Стационарные состояния этого двукратно периодического движения задаются двумя квантовыми условиями, которые могут быть записаны в виде

I=nh, I

_F

=n

_F

h,

(40)

где величины I и I_F связаны с полной энергией системы и функцией действия с помощью соотношений

E=I+

_F

I

_F

(41)

и

I+

_F

I

_F

=

A

,

(42)

которые соответствуют условиям (22) и (23). Рассмотрим вначале особенно простой случай, когда электрон движется по круговой орбите в плоскости, перпендикулярной оси. Для такой орбиты зависимость E и A от , очевидно, будет такой же, как и в случае простого кеплеровского движения, поскольку мы имеем дело только с величинами, пропорциональными внешнему полю. Поэтому из соотношений (41) и (42) следует, что I_F в этом случае обращается в нуль, тогда как I совпадает с величиной, задаваемой формулой (13) для простой периодической орбиты. Так как _F в первом приближении зависит только от I, то из этого мы заключаем, что для энергии возмущённого атома можно записать следующее общее выражение:

E=E

₀

(I)+

_I

F

_I

,

(43)

где E₀(I) описывает энергию для простой кеплеровской орбиты, выраженную в виде функции от I. Поэтому с помощью формул (23) и (37) находим

E=-

2²e⁴m

I²

+

3II_F

8e²m

F.

(44)

Кинематический смысл второго из квантовых условий (40) следует просто из общей теоремы об адиабатической инвариантности квантовых условий для многократно периодических систем. В самом деле, из рассмотрения процесса медленного включения внешнего поля в соответствии с общей теоремой, сформулированной выше, следует, что изменение энергии атома, вызванное полем, равно eF где — расстояние от электрического центра до плоскости, перпендикулярной оси и проходящей через ядро. Максимальное значение ₀ предельном случае, когда орбита вырождается в прямую линию, параллельную направлению поля, равно 3a/2 где 2a обозначает длину большой оси кеплеровской орбиты, зависимость которой от I выражается последним из равенств (26). Сравнивая со вторым членом в (44), получаем соотношение

=

₀

I_F

I

.

(45)

Это условие накладывает очевидное ограничение на значения, которые может принимать n_F в стационарных состояниях, соответствующих данному значению n. Мы приходим к выводу, что n_F может принимать

любое из значений 0, ±1, ±2, …, ±(n-1), тогда как предельные значения ±n следует исключить ввиду сингулярности соответствующего движения.

В связи с правилами квантования (40), быть может, интересно указать, что в том случае, когда приложено магнитное поле, второе квантовое условие обеспечивает связь между добавочной фундаментальной частотой _F за которую ответственно приложенное к атому поле, и возможными значениями энергии атома в поле. Указанная связь полностью аналогична формуле (16) для возможных значений энергии простого планковского осциллятора. Это замечание проясняет физическую сторону проблемы воздействия поля на стационарные состояния атома. Едва ли следует ещё раз подчёркивать, что ни при рассмотрении действия магнитного поля, ни в случае электрического поля не достаточно основываться только на применении адиабатического принципа к проблеме медленного включения поля. Это видно непосредственно из факта полной свободы ориентации атома в пространстве в отсутствие поля.

Переходя теперь к рассмотрению действия электрического поля на спектральные линии водорода, мы получаем из соотношений (40) и (44) выражение для энергии стационарных состояний атома

E=-

2²e⁴m

h²

·

1

n²

+

3h²F

8²em

nn

_F

.

(46)

Отсюда для излучения, испускаемого при переходе из состояния, для которого n=n' и n_F=n'_F, в состояние, для которого n=n'' и n_F=n''_F, с помощью общего соотношения для частот получаем

=

2²e⁴m

h³

1

(n'')^2

–

1

(n')^2

+

3hF

8²em

(n'n'

_F

– n''n''

_F

)

.

(47)

Согласно принципу соответствия, появление такого перехода обусловлено наличием в электрическом моменте атома гармонических компонент с частотой (n'-n'') + (n'_F– n''_F)_F. Сравнивая это с нашим анализом движения в поле, мы неизбежно приходим к выводу, что каждая из спектральных компонент, на которые расщепляются линии водорода, будет обладать характерной поляризацией, такой, что все компоненты, у которых величина (n'-n'') + (n'_F– n''_F) равна чётному целому числу, будут линейно поляризованы параллельно полю, тогда как компоненты, у которых это выражение нечётно, будут обладать характерной поляризацией в направлении, перпендикулярном полю. Эти результаты полностью подтверждаются экспериментами Штарка. При этом не только правильно описываются положения наблюдаемых компонент для каждой линии водорода в пределах экспериментальных ошибок, но и найдено, что поляризация компонент согласуется со сформулированными выше правилами ¹. Более того, с помощью теоретической оценки, основанной на вычислении амплитуд соответствующих гармонических колебаний для переходов, ответственных за разные спектральные компоненты, оказалось возможным детально объяснить законы распределения интенсивностей разных компонент, которые проявляют большие вариации от линии к линии. Эта проблема была рассмотрена Крамерсом в статье, которая содержит подробное обсуждение проблемы интенсивностей спектральных линий в связи с принципом соответствия ².

¹ См. I, стр. 77; а также: Zs. f. Phys., 1920, 2, 446 (статья 14).

² Н. A. Kramers. Intensities of Spectral Lines, D. Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Skrifter, 1919, 3, 287.

Имея в виду эти результаты, мы можем сказать, что эффект Штарка для линий водорода при правильной интерпретации позволяет раскрыть все детали воздействия электрического поля на движения в атоме водорода. Однако в отличие от эффекта Зеемана то отражение движения электрона, которое мы наблюдаем в спектре, настолько искажено, что вряд ли можно было бы понять это движение с помощью наших обычных представлений о возникновении электромагнитного излучения. В то же время фундаментальное отличие квантовой теории от классической электродинамики наиболее ярко проявляется в одной характерной черте этого эффекта, замеченной Штарком ¹. Тогда как при обычных условиях компоненты каждой спектральной линии водорода обладают полной симметрией относительно положения первоначальной линии, то в случае, когда спектр возбуждается при таких условиях, что атом в основном получает отдачу за счёт электронов, движущихся в направлении по электрическому полю или обратно ему, появляется замечательная асимметрия. Действительно, при этом условии компоненты длинноволновой части первоначальной линии намного более интенсивны (или менее интенсивны соответственно), чем компоненты её коротковолновой части. В квантовой теории этот факт получает непосредственное объяснение, если мы предположим, что при этих условиях вероятность смещения плоскости, в которой движется электрический центр, в том же направлении от ядра, куда движутся электроны, заметно больше, чем вероятность этого смещения в противоположном направлении. Рассматриваемый эффект часто считался серьёзным возражением против объяснения эффекта Штарка на основе квантовой теории ². Однако мы видим, что, наоборот, его следует рассматривать как наиболее прямое доказательство полной независимости процессов, приводящих к появлению различных спектральных компонент. А это, согласно нашим постулатам, представляет собой важнейшую черту квантовой теории спектров ³.

¹ J. Stark. Ann. d, Phys., 1918, 56, 569.

² См.: J. Stark. Jahrbuch d. Rad. u. Elekt., 1921, 17, 161.

³ Cм.: N. Bohr. Phil. Mag., 1915, 30, 402 (статья 12); см. также: A. Rubinowiz. Zs. f. Phys., 1921, 5, 331.

Одновременное действие электрического и магнитного полей

Приведённые выше соображения допускают непосредственное применение к более сложным проблемам. Одна из таких проблем возникает при исследовании одновременного действия однородных электрического и магнитного полей на спектральные линии водорода.