Избранные научные труды
Шрифт:
1 Теперь эти коэффициенты называют «коэффициентами Эйнштейна».— Прим. ред.
Несмотря на большое значение эйнштейновского способа рассмотрения, вследствие его несомненного успеха, во многих отношениях он может рассматриваться лишь как предварительное решение. Это видно уже из формулировки гипотезы, в которой непосредственно не включается в рассмотрение длительность процессов перехода, играющая, как мы увидим позднее, существенную роль в описании явлений. Приближённый характер этих предположений проявляется также в том, что для атомных систем, подвергающихся облучению столь большой интенсивности, что внешние электромагнитные силы уже не являются малыми по сравнению с силами, действующими между частицами в невозмущённой системе, описание стационарных состояний невозможно без учёта поля излучения. Последнее обстоятельство снова приводит нас к вопросу о квантово-теоретическом рассмотрении незамкнутых систем. К этому вопросу мы вернёмся несколько позже в настоящей главе.
§ 2.
Несмотря на принципиальные расхождения постулатов квантовой теории с классической электродинамикой, оказалось всё же возможным на основе соотношений (A) и (B) установить некоторым образом связь между процессом излучения и движением в атоме. При этом метод сопоставления даёт объяснение тому, что законы классической теории пригодны для описания явлений в некоторой граничной области. Это достигается тем, что различным возможным процессам излучения ставятся в соответствие различные гармонические компоненты колебаний, выступающие в описании движения атома; иными словами, принимается, что возможность перехода между двумя стационарными состояниями многократно периодической системы, характеризующимися квантовыми числами соответственно n1', …, nu', и n1'', …, nu'', сопровождающегося излучением, обусловлена теми гармоническими компонентами колебания в выражении (2) для электрического момента атома, для которых частота 11+…+uu удовлетворяет соотношениям
1
=n
1
', …, n
1
''
, …,
u
=n
u
', …, n
u
''
.
(20)
Поэтому такие компоненты мы назовём «соответствующими» компонентами колебаний, а сущность приведённого выше рассуждения —«принципом соответствия» для многократно периодической системы 1.
1 В работе I это название ещё не используется, но содержание принципа формулируется там как формальная аналогия между квантовой и классической теориями. Однако такая формулировка могла быть источником ошибок, поскольку, как мы увидим в дальнейшем, принцип соответствия должен рассматриваться как чисто квантово-теоретический закон, который никоим образом не может уменьшить контраст между этими постулатами и классической электродинамикой.
При исследовании условия того, что в области больших квантовых чисел описание явлений на основе рассматриваемого постулата асимптотически соответствует результатам классической теории, применимость которой к статистической проблеме, по-видимому, правомерна, для объяснения появления процесса излучения пользуются, как известно, упомянутым выше законом. Рассмотрим многократно периодическую систему, стационарные состояния которой определяются условиями (A). Из соотношения (B) с учётом уравнений (7) мы получим для частоты излучения при переходе из одного стационарного состояния с квантовым числом nr' в другое состояние с квантовым числом nr'' (r=1, …, u) выражение
=
1
h
[E'-E'']
=
1
h
r
dJ
r
.
(21)
Если квантовые числа nr' и nr'' велики по сравнению с их разностью nr'-nr'' вследствие чего движения в двух состояниях, характеризующихся этими квантовыми числами, отличаются друг от друга незначительно, то при интегрировании частоты в подынтегральном выражении можно считать постоянными. Учитывая это, а также условия (A), мы получаем асимптотическое соотношение
~
u
1
(n
r
'-n
r
'')
r
.
Итак, мы видим, что частота излучения асимптотически совпадает с частотой 11+…+uu гармонической компоненты колебаний, появляющейся согласно выражению (2), в движении системы, именно той частотой, для которой выполняются соотношения (20).
Что касается частоты появления различных возможных переходов, то на основании изложенного получаем, что в области больших квантовых чисел имеется связь между частотами компонент колебаний и частотами дуга волн, которые испускаются при переходе; исходя из этого предположим сначала, что интенсивность различных спектральных линий в этой граничной области приближённо определяется амплитудой соответствующей компоненты колебания электрического момента системы; она
Если нас интересуют абсолютные значения коэффициентов вероятности, введённых Эйнштейном в теорию теплового излучения, которые являются мерой частоты переходов, связанных с излучением, то следует отметить следующее. Приведённые выше рассмотрения позволят нам в области больших квантовых чисел легко вычислить эти коэффициенты с помощью амплитуд соответствующих гармонических компонент движения. Отсюда видно, что только в этой граничной области амплитуды в начальном и конечном состояниях приблизительно равны. Вообще же мы должны быть готовы к тому, что в двух различных состояниях как частоты этих компонент, так и рассматриваемые амплитуды могут быть совершенно различными. Однако возможность найти общее выражение для указанных коэффициентов с помощью механических символов, по-видимому, не может быть исключена. Подтверждением этого может служить замечание, что частота перехода между двумя любыми стационарными состояниями многократно периодической системы может быть выражена как простое среднее значение частот соответствующих колебаний в непрерывной последовательности состояний движения, надлежащим образом выбранной из общего решения уравнений (1). Снова рассмотрим переход между двумя стационарными состояниями, для которых квантовые числа в условиях (А) равны, например, nr' и nr''. Рассмотрим далее состояния, в которых переменные действия J1, …, Ju служащие для определения стационарных состояний, даются выражением
J
r
=
h[
n
r
''
+
(n
r
'-n
r
'')
],
где параметр может принимать все значения между 0 и 1. Как видно непосредственно из соотношений (2) и (3), выражение для частоты v излучения при переходе можно записать в следующем виде:
=
1
0
(n
r
'-n
r
'')
r
d
.
Поэтому частота системы волн, излучённых при переходе, может рассматриваться как среднее значение частот соответствующих колебаний в ряду «промежуточных состояний». Крамерс указал на эту простую зависимость в статье, содержащей обстоятельное исследование применения принципа соответствия к вопросу об интенсивности спектральных линий. В этой статье он рассмотрел также возможность получения общего выражения для вероятности перехода с помощью должным образом выбранного среднего по промежуточным состояниям значения величин, определяющих, согласно классической теории, энергию излучения, сопровождающего соответствующие колебания электрического момента атома 1.
1 Н. A. Kramers. Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Skrifter, 8. Raekke, 111. Хотя этот важный вопрос ещё не решен, следует заметить, что вытекающее из «спектроскопической стабильности» доказательство приведённого на стр. 110 статьи Крамерса выражения не может быть получено непосредственно (ср. стр. 510).
§ 3. Принцип соответствия и определение стационарных состояний
Хотя принцип соответствия и не даёт нам прямых сведений о природе процессов излучения и о причине стабильности стационарных состояний, он освещает применение квантовой теории таким образом, что для этой теории можно предполагать наличие внутренних связей, аналогичных соотношениям классической теории. Прежде всего при обосновании стационарных состояний отчётливо выступает роль свойств периодичности движения. Затем предположение, что число квантовых условий (А) равно степени периодичности, превращается в требование, необходимое для получения однозначного соответствия между различными типами переходов и типами гармонических компонент движения. Введение добавочных условий также объясняется очень просто, если принять, что под действием внешних сил степень периодичности возрастает. А именно, мы можем считать эти условия непосредственным требованием соответствия между появляющимися при секулярных возмущениях новыми медленными гармоническими колебаниями и теми процессами перехода, в которых изменяются только новые квантовые числа, соответствующие добавочным условиям, а квантовые числа, соответствующие невозмущённому движению, остаются неизменными 1.