Логика и рост научного знания
Шрифт:
окружности являются эллипсами, возможно проводить
получил при фальсификации своей гипотезы окруж-
сравнение этих гипотез на основе отношения включе-
ности, фактически был его первым реальным успехом.
*20 Предполагается, что условия, при которых эта теорема вер-
Развиваемые далее соображения были поддержаны со ссыл-
на, всегда выполняются «пространствами», с которыми мы здесь име-
кой на источник Нилом [45, с. 230] и Кемени [43, прим. на с. 404].
ем
173
172
Используемый им метод имел в его глазах достаточное
оправдание для того, чтобы двигаться дальше, в част-
ности потому, что даже эта его первая попытка уже
нульмерные
одномерные
двумерные
трехмерные
четырехмер-
дала определенные результаты.
классы
классы
ные клас-
22
классы
классы
Без сомнения, законы Кеплера могли быть обна-
сы
ружены иначе. Однако, по моему мнению, то, что имен-
но этот путь привел к успеху, не было чисто случай-
—
—
прямая ли-
окружность
парабола
ным. Путь, по которому шел Кеплер, соответствует
ния
методу устранения,который применим только тогда, прямая ли-
окружность
парабола
коническое
когда теория достаточно легко фальсифицируема, то
—
ния через
через одну
через од-
сечение
есть^ достаточно точнадля того, чтобы быть способной
одну дан-
данную
ну дан-
через од-
прийти в столкновение с данными наблюдения.
ную точку
точку
ную точку
ну дан-
ную точку
"
40. Два способа редукции размерности
прямая ли-
окружность
парабола че- коническое
множества кривых
ния через
через две
рез две
сечение
две дан-
данные
данные
. через две
ные точки
точки
точки
данные
Совершенно различные множества кривых могут
точки
иметь одну и ту же размерность. Множество всех окруж-
ностей, к примеру, трехмерно, а множество всех окруж-
окружность
парабола
коническое
—
"
ностей, проходящих через данную точку, является дву-
через три
через три
сечение
мерным множеством (подобно множеству прямых ли-
данные
данные
через три
точки
точки
данные
ний). Если же мы потребуем, чтобы все окружности
точки
проходили через две данные точки, то мы получим одно-
мерное множество, и т. д. Каждое дополнительное
точку(или некоторую очень маленькую область), часто
условие, требующее, чтобы все кривые некоторого мно-
будет связываться или ставиться в соответствие с при*
жества проходили еще через одну данную точку, сни-
нятием некоторого сингулярного высказывания,то есть
жает размерность данного множества на единицу.
начального условия. Вместе с тем переход, скажем, от
Размерность можно также редуцировать и другими
гипотезы эллипса к гипотезе окружности, очевидно, методами, отличными от увеличения числа данных то-
будет соответствовать редукции размерности самой тео-
чек. Так, например, множество эллипсов с данным со-
рии.Как же можно разграничить эти два метода редук-
отношением их осей является четырехмерным (как и
ции размерности? Мы можем назвать «материальной
множество парабол), и таким же является множество
редукцией»метод редукции размерности, который не
эллипсов с данным численным эксцентриситетом. Пере-
имеет дела с допущениями, касающимися «формы» или
ход от эллипса к окружности, конечно, эквивалентен
«вида» кривой, то есть, к примеру, редукции при помо-
спецификации эксцентриситета (эксцентриситет в этом
щи точного определения одной или более точек или
случае равен 0) или принятию особого соотношения
при помощи какой-либо эквивалентной спецификации.
осей (равного 1).
Другой метод, при котором форма или вид кривой
Поскольку мы заинтересованы в оценке степеней
становятся более точно определенными, как, например, фальсифицируемости теорий, мы теперь поставим во-
когда мы переходим от эллипса к окружности или от
прос о том, эквивалентны ли для наших целей различ-
окружности к прямой линии и т. д., я назову методом
ные методы редукции размерности или нам следует
«формальной редукции»размерности.
более тщательно исследовать их относительные до-
стоинства. Действительно, допущение о том, что кри-
вая должна проходить через определенную сингулярную
22 Мы могли бы, конечно, начат ь с пустого минус-одномерного