Логика и рост научного знания

Поппер Карл Раймунд

класса.

174

175

Однако это различение нелегко сделать достаточно

ной, системе координат. Следовательно, такая редукция

точным. В этом можно убедиться следующим образом.

связана с индивидуальными именами23.

Редукция размерности на языке алгебры означает за-

Можно построить некоторую иерархию подобных

мену некоторого параметра константой. Однако не

преобразований. Определение, инвариантное но отно-

очень

ясно, каким образом мы можем различить раз-

шению к более общей группе преобразований, являет-

ные методы замены параметра константой. Формальная

ся также инвариантным и по отношению к бlb>лее част-

редукция,заключающаяся в переходе от общего урав-

ным группам. Для каждого определения множества

нения эллипса к уравнению окружности, может быть

кривых существует одна наиболее общая группа пре-

описана как приравнивание одного параметра к 0, а

образований, которая является характерной для этого

второго — к 1. Однако если второй параметр (абсолют-

множества. Теперь мы можем сказать: определение

ный термин) приравнивается к 0, то это означало бы

Di множества кривых называется «равным по общности»

материальную редукцию,а именно спецификацию неко-

(или более общим по отношению к) определению D2

торой точки эллипса. Тем не менее я считаю, что это

множества кривых, если оно инвариантно по отношению

различение можно сделать ясным, если мы установим

к той же самой группе преобразований, что и D2 (или

его связь с проблемой универсальных имен. Дело в

по отношению к более общей группе). Редукцию раз-

том, что материальная редукция вводит индивидуальное

мерности множества кривых теперь можно назвать

имя, а формальная — универсальное имя в определение

формальной,если она не уменьшает общности опреде-

соответствующего множества кривых.

ления; в противном случае она является материальной.

Давайте представим, что нам дана некоторая кон-

Если мы сравним степени фальсифицируемости двух

кретная плоскость, возможно, при помощи «остенсив-

теорий при помощи рассмотрения их размерности, то

ного определения». Множество всех эллипсов на этой

нам наряду с размерностью, без сомнения, придется

плоскости можно определить при помощи общего урав-

принимать в расчет и их общность,то есть их инва-

нения эллипса, множество окружностей — при помощи

риантность по отношению к преобразованиям

коор-

общего уравнения окружности. Эти определения не за-

динат.

висят от того, в каком местена плоскости мы проводим

Такая процедура, конечно, должна считаться с тем, (декартовы) координаты,к которым относятся эти

содержит ли фактически рассматриваемая теория гео-

определения. Следовательно, они не зависят от выбора

метрические высказывания о мире, как это имеет место, начала и ориентации координат. Конкретная система

например, в теории Кеплера, или она «геометрична»

координат может быть определена только при помощи

только в том смысле, что ее можно представить при

ипдувидуальных ямен, скажем при помощи остенсивно-

помощи графика, подобного тому, посредством которо-

го определения начала и ориентации координат. По-

го выражается зависимость давления от температуры.

скольку же определение множества эллипсов (или

Конечно, было бы неправильным требовать от теорий

окружностей) одинаково для всех декартовых коорди-

второго типа или от соответствующих множеств кри-

нат, оно независимо от спецификации этих индивидуаль-

вых, чтобы их определения были инвариантными по

ных имен, то есть инвариантнопо отношению ко всем

отношению, скажем, к вращениям системы координат, преобразованиям координат в евклидовой группе (пре-

так как в таких случаях различные координаты могут

образованиям переносов и подобия).

представлять совершенно различные вещи (одна коор-

Если же возникает необходимость определить мно-

динатная ось, например, — давление, другая — темпера-

жество эллипсов (или окружностей), которые имеют

туру и т. п.).

общую конкретную, индивидуальную точку на плоско-

На этом мы заканчиваем рассмотрение методов, при

сти, то мы должны обратиться к уравнению, которое

следует сравнивать степени фальсифи-

не является инвариантным по отношению к преобра-

23 Об отношениях между группам и преобразовани й и «индиви-

зованиям в евклидовой группе, а относится к сингуляр-

дуализацией» см. [90, с. 73], где делается ссылка на эрлашенск\ю

ной, то есть индивидуально «ли остенсивно определен-

программу Клейна.

173

12—913 177

цируемости теорий. Я считаю, что эти методы могут

помочь нам прояснить такие эпистемологические вопро-