Логика и рост научного знания

Поппер Карл Раймунд

теории tпо отношению к этой области и если к тому

дами. Однако если в некотором конкретном случае при-

же эта область удовлетворяет некоторым другим усло-

менимы оба метода, то вполне может случиться, что

виям, которые формулируются в [70, прил. I].

две теории одинаковой размерности могут тем не менее

Характеристическое число dтеории tпо отношению

иметь

разные степени фальсифицируемое™, когда мы

к некоторой области применения я буду называть раз-

оцениваем их с помощью метода, основанного на отно-

мерностью tпо отношению к этой области применения.

171

170

шении включения классов. В таких случаях следует при-

ния классов). Использование размерностей дает нам

нимать результат, полученный на основе второго мето-

возможность сравнить теории, которые мы прежде срав-

да, так как он является более чувствительным методом.

нивать не могли. Так, например, мы можем теперь

Во всех других случаях, в которых применимы оба ме-

сравнить гипотезу об окружностях с гипотезой о пара-

тода, они должны вести к одному и тому же резуль-

болах (которая является четырехмерной). Каждое из

тату, так как можно доказать с помощью простой тео-

слов «окружность», «эллипс», «парабола» обозначает

ремы теории размерности, что размерность некоторого

класс или множество кривых,и каждое из этих мно-

класса должна быть больше или равна размерности

жеств имеет размерность а,если аточек необходимы

его подклассов (см. [52, с. 81] )*

и достаточны для того, чтобы выделить или охаракте-

2 0 .

ризовать одну конкретную кривую, принадлежащую

данному множеству. При алгебраическом представле-

39. Размерность множества кривых

нии размерность множества кривых зависит от числа

параметров,значения которых можно произвольно вы-

В некоторых случаях мы можем достаточно просто

бирать. Следовательно, можно сказать, что число сво-

отождествить то, что я назвал «областью применения»

бодно детерминируемых параметров множества кривых, некоторой теории, с областью ее графического пред-

при помощи которых представляется теория, является

ставления,то есть с пространством миллиметровой бу-

характеристическим для степени фальсифицируемости

маги, на которой мы представляем теорию с помощью

(или проверяемости) данной теории.

графиков. Каждая точка такой области графического

В связи с высказываниями q u s, окоторых идет

представления считается соответствующей одному отно-

речь в рассмотренном примере, я хотел бы сделать не-

сительно атомарному высказыванию. При этом размер-

сколько методологических замечаний, касающихся от-

ность теории по отношению к этой области (ее опреде-

крытия Кеплером его законов*21.

ление см. в [70, прил. I] ) тождественна размерности

Я не хочу навести вас на мысль о том, что вера в

множества кривых, соответствующих теории. Я рас-

совершенство — эвристический принцип, приведший

смотрю эти отношения при помощи двух высказываний

Кеплера к его открытию, — была внушена ему созна-

qи s,которые были сформулированы в разд. 36. (Про-

тельно или бессознательно методологическими сообра-

водимое нами сравнение размерностей применяется к

жениями, касающимися степеней фальсифицируемости

высказываниям с различными предикатами.) Гипотеза

теорий. Однако я действительно считаю, что Кеплер

q,согласно которой все планетарные орбиты являются

своим успехом частично обязан тому факту, что гипо-

окружностями, трехмерна, поскольку для ее фальсифи-

теза окружности, от которой он отталкивался в своем

кации необходимы по крайней мере четыре принадле-

исследовании, была относительно легко фальсифици-

жащих данной области сингулярных высказывания, руема. Если бы Кеплер начал с гипотезы, не столь

соответствующих четырем точкам ее графического пред-

легко фальсифицируемой на основании ее логической

ставления. Гипотеза s, согласно которой все планетар-

формы, как гипотеза окружности, он вполне мог бы не

ные орбиты являются эллипсами, пятимерна, поскольку

получить никакого результата, особенно если принять

для ее фальсификации необходимы по крайней мере

во внимание трудности вычислений, само основание

шесть сингулярных высказываний, соответствующих

которых висело «в воздухе», блуждало, так сказать, по

шести точкам на графике. В разд. 36 мы установили, небесам и двигалось в неизвестном направлении. Не-

что qлегче фальсифицируема, чем s (поскольку все

двусмысленный отрицательныйответ, который Кеплер