Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
Для того, что воспроизвести статическую силу, а не просто рассеяние, излучение или поглощение одиночного гравитона другой частицей должно оставлять обе частицы в одном и том же внутреннем состоянии. Это исключает возможность того, что гравитон переносит полуцелый спин (например, связанный с тем фактом, что он имеет вращение на угол 720° для того, чтобы возвратить себе назад волновую функцию спина 1/2). Следовательно, гравитон должен иметь целый спин. Далее, для того, чтобы решить, какие значения целого спина оказываются возможными, мы разберём два случая, когда частица 2 является идентичной частице 1 и когда частица 2 является античастицей частицы 1, так что будучи заряженными, эти частицы переносят одинаковый и противоположные заряды соответственно. Когда вычисляется потенциал для обоих случаев и взяты соответствующие пределы, мы находим, что когда частица, с помощью которой переносится взаимодействие, переносит целый нечётный спин, похожие заряды отталкиваются и противоположные заряды притягиваются, точно также, как в случае электродинамики. С другой стороны, когда частица, с помощью которой переносится взаимодействие, переносит чётный целый спин, то потенциал определяет универсальным образом притяжение (похожие заряды и противоположные заряды притягиваются). Отсюда следует, что спин гравитона должен быть равным 0, 2, 4,…
Для того, чтобы исключить возможность спина 0, мы замечаем, что эксперимент Этвеша и его недавние усовершенствования эмпирически показывают, что гравитация действительно взаимодействует с содержащейся в объектах энергией, отсюда следует, что на такие объекты, как фотоны, действует гравитация, например, они должны ”падать” в гравитационном поле. Если мы предполагаем, что частица, которая переносит взаимодействие, имеет спин 0, тогда мы теряем взаимодействие гравитации с фотоном со спином 1. Так как мы знаем, что фотон отклоняется массивным объектом, например Солнцем, то гравитон не может иметь спин 0.
На качественном языке теории поля функции Грина для распространения частицы, с помощью которой передаётся взаимодействие от частицы 1 к частицы 2 в импульсном пространстве, есть
~
1
k^2
,
скалярное поле,
~
k^2
,
векторное поле,
~
k^2
,
тензорное поле,
(K.2)
где k^2 есть квадрат 4-импульса, переносимого виртуальной частицей, осуществляющей перенос взаимодействия, и есть метрика плоского пространства Минковского. Скалярное поле представляет спин 0, векторное поле спин 1 и соответствующим образом спроектированное тензорное поле представляет спин 2. Для вычисления амплитуды для обмена мы помещаем пропагаторы между тензорами T(1) и T(2) для двух частиц. При обмене частицей со спином 0 пропагатор не содержит никаких множителей в числителе для того, чтобы свернуть индексы T(1) с индексами T(2), отсюда следует, что мы должны сами свернуть индексы отдельно у этих тензоров энергии-импульса. Таким образом, при обмене частицей со спином 0 амплитуда пропорциональна величине
T
(1)
1
k^2
T
(2)
.
(K.3)
Другими словами, гравитон со спином 0 взаимодействует только со следом тензора энергии-импульса. Тем не менее, тензор энергии-импульса для электромагнитного поля в пространстве Минковского является бесследовым, отсюда следует, что скалярные гравитационные поля не связывают гравитацию со светом, так что гравитон не может быть частицей спина 0.
Так как гравитон не является бесспиновой частицей, то следующей возможностью является спин, равный 2. Классическим путём не найдено ничего такого, что позволило бы нам исключить случай спина, равный 2, так что привлекая правило ”если это работает, не ремонтируй это”, возможностями существования более высоких значений спина пренебрегаем. Тем не менее, несмотря на это мы ещё не совсем закончили (наше рассуждение). Общее тензорное поле содержит части, которые мы всё ещё хотим исключить. Например, антисимметричная часть ведёт себя как взаимодействие полей со спином 1 (напомним, что напряжённости электромагнитного поля F являются антисимметричными) и, следовательно, должна быть отброшена. Таким образом, остаётся симметричное тензорное поле.
В качестве резюме скажем, что гравитон безмассовый, поскольку гравитация является дальнодействующей силой, и он обладает спином 2 для того, чтобы он мог взаимодействовать с содержащейся в веществе энергией путём универсального взаимодействия.
В разделе 1.2 Фейнман кратко обсуждает поведение гравитации и антивещества, популярно называемого ”антигравитацией”. Был только один эксперимент, представляющий собой попытку непосредственно измерить поведение гравитации и антивещества для случая, когда частица и античастица не являются идентичными. Этот эксперимент, проводился В. Файербенком и Ф. Виттерборном [WiFa 67, FWML 74], и очевидно был инициирован комментарием Де Витта на конференции в Чапел Хилле в 1957 году (см. Предисловие, [DeWi 57]), где Файербенк принимал участие (см. также [NiGo 91], где также обсуждается этот вопрос), и это превосходный пример тех трудностей, с которыми сталкиваются в экспериментальной гравитационной физике. В разделе 1.2 Фейнман упоминает два из аргументов против антигравитации, основанные на обсуждении распада каона [Good 61] и на поляризации вакуума в КЭД [Schi 58, Schi 59]. Если бы пертурбативная программа проквантовать гравитацию (программа, которая представлялась Фейнманом в этих лекциях) принесла бы согласованную теорию, тогда этот вопрос был бы приведён в порядок, и здесь антигравитации бы не было. Так как пертурбативная теория квантовой гравитации исходит из пространства Минковского, то мы могли бы ожидать, что CPT - теорема оказывается справедливой во всех порядках и, следовательно, частица и античастица должны были бы иметь одну и ту же массу. К тому же, свойства гравитона, обсуждаемые выше, должны были бы не меняться, что привело бы к универсальности силы притяжения, включал антивещество.
К сожалению, пертурбативная теория не является согласованной теорией, и огромное количество творческой энергии было затрачено в целях поиска согласованной квантовой гравитации. Хотя мы ожидаем, что при низкой энергии, больших расстояниях, предел слабого поля квантовой гравитации был бы общей теорией относительности [Wein 64а, Wein 64b], Природа может потребовать для непротиворечивости гравитационных различий между веществом и антивеществом на очень маленьких расстояниях. Такие эффекты легко могут быть меньше, чем доступные в настоящее время экспериментальные пределы, и оставляют стороне аргументы против антигравитации, но это не значит, что мы когда-нибудь увидим что-либо ”падающим вверх”.
Калибровочная инвариантность и принцип эквивалентности
Другой выгодой использования теоретико-полевого подхода к теории гравитации является то, что мы приходим к Принципу Эквивалентности, фундаментальному принципу, лежащему в основании общей теории относительности, как к следствию калибровочной инвариантности. Так как мы строим теорию гравитации снизу вверх эта калибровочная инвариантность входит в теорию казалось бы безобидным образом.
Свободный гравитон является безмассовым и движется со скоростью света, так что мы никогда не сможем найти систему отсчёта, в которой бы он находился в покое. Следовательно, существует инвариантное понятие проектирования его спина на направление движения и направление, противоположное движению. Безмассовый гравитон должен появиться с двумя поляризациями или с двумя спиральностями и не более. В общем случае, поле симметричного тензора будет иметь более двух динамических степеней свободы. Следовательно, поле ранга 2 только с двумя степенями свободы не есть тензорное поле, и у нас появляется опасность потери Лоренц-инвариантности. Эта ситуация аналогична той, которая имеет место в электродинамике. Выход из этой дилеммы состоит в том, чтобы включить в теорию калибровочную инвариантность. Отсюда следует, что когда мы строим действие в пространстве Минковского для того, чтобы описать безмассовые гравитоны со спином 2, то мы будем должны ввести калибровочную симметрию для того, чтобы уменьшить число динамических степеней свободы до 2. Если мы не делаем этого, то квантовая теория не будет Лоренц-инвариантной. Действие, которое содержит необходимую калибровочную симметрию и в котором имеются до второй производной поля, есть действие Фирца - Паули [FiPa 39]. Этого оказывается достаточным для того, чтобы начать и продолжить построение общей теории относительности (см. краткое резюме во Введении). В конце концов, мы получаем Принцип Эквивалентности как результат калибровочной инвариантности. Калибровочная симметрия возникает с самого начала для того, чтобы квантовая теория свободного безмассового гравитона со спином 2 была лоренцевым инвариантом.
Сражение с бесконечностями
Не являлось секретом то, что объединение гравитации и квантовой механики должно быть сопряжено с огромными усилиями. Когда поле квантуется, каждая мода поля обладает энергией нулевой точки. Так как поле формируется бесконечным числом мод, вакуумная энергия квантового поля является бесконечной. От этой бесконечности легко отделаться нормальным упорядочиванием полевых операторов. Оправдание этому в том, что мы просто переопределяем нулевую точку масштаба энергии, который прежде всего является произвольным. Тем не менее, так как гравитация взаимодействует со всей энергией, то когда мы добавляем гравитацию, то мы не можем больше уйти от этого. Вакуумные флуктуации квантованных полей действительно порождают физические эффекты, так что даже если мы обрезаем некоторое количество мод, плотность энергии вакуума от энергии нулевых точек оставшихся мод может быть очень большой. Такая плотность вакуумной энергии будет появляться в теории гравитации как космологическая постоянная. Так как космологическая постоянная очень мала, то это составляет большую проблему [Wein 89].