Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
Мы знаем из фейнмановских комментариев, сделанных в 1957 году на конференции в Чапел Хилл [DeWi 57], что уже тогда он работал над вычислениями, описанными в лекциях 2-6. Мюррей Гелл-Манн сообщал [Gell 89], что Фейнман и он обсуждали различные вопросы квантовой гравитации в течении рождественских каникул в 1954 - 55 годах, и что уже тогда Фейнман достиг ”значительного прогресса” в этой области.
Требование того, что единственная разумная теория взаимодействующего безмассового поля спина 2 является по существу общей теорией относительности (или хорошо аппроксимируется общей теорией относительности в низкоэнергетическом пределе), довольно часто высказывается и сегодня. (Например, доказывается, что так как теория суперструн содержит безмассовые частицы спина 2, это может быть теория гравитации). Фактически, Фейнман не был самым первым, кто высказал это требование.
Полевое уравнение для свободного безмассового поля спина 2 было выписано Фиртцем и Паули в 1939 году [FiPa 39]. С того времени идея рассмотрения эйнштейновской гравитации,
Грубо говоря, аргумент Гупты состоит в следующем. Мы хотим построить теорию, в которой ”источник”, связанный с безмассовым полем спина 2, есть тензор энергии-импульса, включающий энергию-импульс самого поля спина 2. Если выбрать источник поля таким образом, что он есть тензор энергии-импульса 2T теории свободного поля (которая квадратична по h), то связь этого источника с тензором h приводит к появлению кубического члена в лагранжиане. Из этого кубического члена в лагранжиане может быть выведен соответствующий кубический член 3T в тензоре энергии-импульса, который тогда включается в источник. Этим порождается член четвёртого порядка 4T и так далее. Эта итерационная процедура порождает бесконечные ряды, которые могут быть просуммированы для того, чтобы получить полные нелинейные уравнения Эйнштейна. Гупта кратко описал эту процедуру, но на самом деле не довёл её до завершения. Первая полная (и особенно элегантная) версия была опубликована Дезером в 1970 году [Dese 70]. Дезер также заметил, что теория Янга-Миллса может быть выведена, исходя из подобного подхода.
За несколько лет до работы Гупты, Роберт Крайчман, тогда 18-летний студент Массачусетского Технологического Института, также изучал проблемы вывода общей теории относительности как непротиворечивой теории безмассового поля спина 2 в плоском пространстве. Он описал свои результаты в неопубликованной диссертации на степень бакалавра [Krai 47]. Крайчман продолжил исследования по этой проблеме в Институте Перспективных Исследований в 1949 - 1950 годах. Он вспоминает, что хотя он и получил некоторое одобрение от Брайса Де Витта, очень немногие из его коллег поддерживали его усилия. Эта группа определённо включала в себя самого Эйнштейна, который пришёл в ужас от такого подхода к гравитации, отвергавшего его собственное геометрическое понимание, полученное им в результате огромной проделанной работы. Крайчман не публиковал никакие из своих результатов до 1955 года [Krai 55, Krai 56], когда он наконец нашёл вывод, который его удовлетворил. В отличие от Гупты, Крайчман не предполагал, что гравитация взаимодействует с полным тензором энергии-импульса. Скорее всего он, как и Фейнман, выводил свой результат как следствие непротиворечивости полевых уравнений. Кажется вероятным, что Фейнман совершенно ничего не знал о работах Гупты и Крайчмана.
Мы должны были бы указать на то, что анализ Фейнмана весьма далёк от наиболее общего анализа, который можно было бы провести (анализ Фейнмана является существенно менее общим, чем анализ Крайчмана). Фейнман предполагал некоторый частный вид для действия вещества (которое соответствует действию для релятивистской частицы) и далее предполагал строго линейную связь поля вещества спина 2 (которая была бы невозможна для более общего действия для материи). В частности, отметим, что все физические предсказания теории не меняются, если проводится нелинейное локальное переопределение поля спина 2; мы вольны сделать замену h(x) на h(h(x))=h(x)+O(h(x)^2). Фейнман косвенным образом устранил эту свободу для того, чтобы делать подобные переопределения исходя из требования, что взаимодействие с материей должно быть линейно по h. (Полевые переопределения рассматривались детально Боулваром и Дезером [BoDe 75].) Значительно более общий анализ условия непротиворечивости для полевого уравнения проводился позднее Волдом [Wald 86] и привёл его в конце концов к заключениям, аналогичным тем, к которым пришли Крайчман и Фейнман.
Совершенно другой подход к выводу формы гравитационного взаимодействия был разработан Вейнбергом [Wein 64а, Wein 64b]. Сделав весьма разумные предположения об аналитических свойствах амплитуд рассеяния при гравитон-гравитон взаимодействии, Вейнберг показал, что теория взаимодействующей безмассовой частицы со спином 2 может быть лоренц-инвариантной, только если частицы взаимодействуют с материей (включая взаимодействие с самой собой) с некоторой универсальной силой, другими словами, только если удовлетворяется сильный принцип эквивалентности. До известной степени аргументация Вейнберга - наиболее глубокая и мощная, так как свойство того, как гравитон взаимодействует с тензором энергии-импульса, выводится из других более общих принципов. Как только принцип эквивалентности установлен, можно продолжить построение эйнштейновской теории [Wein 72].
Наконец, существует вопрос о том, как должны быть исключены члены в лагранжиане, включающие в себя производные выше второго порядка от тензора h. В лекциях Фейнмана этому вопросу уделено очень мало внимания, за исключением замечания в разделе 6.2, что включение членов с двумя производными (или менее) приведёт к ”наипростейшей” теории. (См. также в разделе 10.3 связанное с этим замечание в слегка другом контексте.) Фейнман, по-видимому, не предвосхитил современную точку зрения [Wein 79], что члены с более высокими производными обязательно присутствуют в лагранжиане, но эти члены оказывают пренебрежимо малое влияние на предсказания теории, когда кривизна пространства-времени мала. Философия, лежащая в основе этой точки зрения, состоит в том, что лагранжиан эйнштейновской теории является просто ”эффективным лагранжианом”, который описывает низко-энергетическую феноменологию более фундаментальной теории - теории, которая могла бы включать в себя новые степени свободы (суперструны?) на масштабах длины порядка планковской длины LP=(Gh/a^2) 1/2 10– 33 см. В эффективном лагранжиане допускаются все члены, согласованные с общими принципами, включая члены с произвольным числом производных. Тем не менее, основываясь на соображениях размерности, член с более высокими производными имеет коэффициент, пропорциональный более высокой степени LP. Таким образом, в процессе, включающем в себя характерный радиус кривизны порядка L, члены в лагранжиане с четырьмя производными дают эффекты, которые подавлены по сравнению с эффектами, вызываемыми членами со второй производной, подавлены множителем порядка (Lp/L)2, который чрезвычайно мал для любых разумных процессов. В таком случае мы можем понять, почему усечённая теория, включающая только члены со второй производной и ниже, была бы в замечательном согласии с экспериментом.
С другой стороны, то же самое рассуждение также приводит к ожиданию появления ”космологического” члена (в котором нет производных) с коэффициентом порядка 1 в единицах LP. То, что космологическая постоянная является фактически необычайно малой сравнительно с такими наивными ожиданиями, остаётся одной из великих неразрешённых тайн физики гравитации [Wein 89].
Геометрия
После проведения исследований в целях построения разумной теории, которая описывает взаимодействия безмассовых полей спина 2 в плоском пространстве, Фейнман не отказался от того, чтобы высказать восхищение (как в разделе 8.4), что получившаяся в результате теория имеет геометрическую интерпретацию: ”… этот факт состоит в том, что поле спина 2 имеет геометрическую интерпретацию; это не является чем-то легко объяснимым, это является просто удивительным.” В лекциях 8-10 при развитии теории используется геометрический язык, который является более традиционным, чем тот подход, который использовался в его более ранних лекциях.
В разделе 9.3 Фейнман замечает, что он не знает геометрической интерпретации тождества Бианки, и он кратко описывает, как можно было бы обнаружить этот геометрический смысл. Геометрическая интерпретация, которую он представляет, была в явном виде описана в работе французского математика Эли Картана в 1928 году [Cart 28]; тем не менее, она была неизвестна широким кругам физиков, даже кругам профессиональных релятивистов в 1962 году. Эта геометрическая интерпретация была высказана на языке дифференциальных форм, на котором Фейнман не говорил. Интерпретация Картана состояла в том, что ”граница границы равна нулю”, как было в конце концов извлечено из идей Картана Чарльзом Мизнером и Джоном Уилером в 1971 году, что сделало эту интерпретацию широко доступной; см. например, часть 15 монографии [MTW 73] на техническом уровне и часть 7 книги [Whee 90] на популярном уровне.
Космология
Некоторые из идей Фейнмана о космологии имеют современное звучание. Хороший пример - это его внимание к вопросу о происхождении материи. Идея о непрерывном образовании вещества в стационарной космологической модели серьёзно не раздражает его (он замечает в разделе 12.2, что в космологии Большого Взрыва существует проблема (причём довольно неприятная), как объяснить, откуда берётся вся материя в самом начале). В разделе 1.2 и вновь в разделе 13.3 он подчёркивает, что полная энергия вселенной могла бы быть в действительности равной нулю, и что образование вещества возможно, поскольку энергия покоя вещества на самом деле сокращается энергией гравитационного потенциала. ”Дух захватывает от мысли о том, что ничего не стоит образовать новую частицу…”. Это близко к популярному взгляду на то, что вселенная есть ”бесплатный обед”, ничто или почти ничто взрывается до космологического размера, проходя через чудо инфляции [Guth 81]. Фейнман беспокоился более о необходимости несохранения барионного числа, если вселенная возникает из ”ничего”.