Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
I
(t
,)
=
I
(0,)
при
<
2
.
(10.7)
Таким образом, задача состоит в решении системы уравнений (10.5) при граничных условиях (10.6) и (10.7).
Для решения полученной системы уравнений могут быть использованы методы, изложенные в гл. I. Применим к ней первый приближённый метод (т.е. метод Шварцшильда —
Обозначая через I' среднюю интенсивность излучения, идущего снизу вверх, и через I'' — среднюю интенсивность излучения, идущего сверху вниз, вместо системы уравнений (10.5) приближённо получаем
1
2
dI'
dt
=
I
'
–
S
,
–
1
2
dI''
dt
=
I
''
–
S
,
S
'
=
(
I
'
–
I
''
).
(10.8)
Из уравнений (10.8) следует
I
'
–
I
''
=
F
,
I
'
+
I
''
=
2F
t
+
C
,
(10.9)
где F и C — произвольные постоянные.
Граничные условия (10.6) и (10.7) в данном случае принимают вид
I
''
=
0
при
t
=
0
,
I
'
=
I
при
t
=
t
,
(10.10)
где I — средняя интенсивность излучения, входящего из фотосферы в атмосферу. При помощи (10.10) находим
C
=
F
,
F
=
I
1+t
.
(10.11)
Знание произвольных постоянных позволяет получить из уравнений (10.8) и (10.9) следующее выражение для функции S:
S
=
I
1+t
1
2
+
t
.
(10.12)
Интенсивность
I
(0,)
=
t
0
S
(t
)
e
– tsec
sec
dt
+
+
I
(0,)
e
– tsec
.
(10.13)
Если мы подставим сюда найденное выражение для S и воспользуемся формулой (9.10), то получим искомую величину r, характеризующую профиль линии поглощения на угловом расстоянии от центра диска.
Чтобы определить величину r, характеризующую профиль линии в спектре всей звезды, надо найти потоки излучения, выходящего из атмосферы в частоте внутри линии и в непрерывном спектре вблизи линии. В принятом приближении эти величины равны
H
=
F
,
H
=
F
.
(10.14)
Подставляя (10.14) в (9.11) и пользуясь второй из формул (10.11), получаем
r
=
1
1+t
.
(10.15)
Заметим, что величина 1/(1+t) представляет собой долю фотосферного излучения, пропущенного атмосферой в частоте (вообще говоря, после многократных рассеяний). Величина же t/(1+t) есть доля этого излучения, отражённого обратно в фотосферу.
Мы можем переписать формулу (10.15) в несколько другом виде. Входящая в неё величина t/(1+t) представляющая собой оптическую толщину атмосферы в частоте , равна
t
/(1+t
)
=
r
dr
,
(10.16)
где r — радиус основания атмосферы. Представим объёмный коэффициент поглощения в виде =nk, где n — число атомов в нижнем состоянии для данной линии (или, как иногда говорят, число поглощающих атомов) в 1 см^3 и k — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом. Тогда, считая, что k не зависит от места в атмосфере, вместо (10.16) получаем