Курс теоретической астрофизики

Соболев Виктор Викторович

=

1

3(1+)

– b

C

exp

–

b

+

+

1+Q

1+

B

(T)

(10.50)

Определяя постоянную C из условия (10.33), получаем

следующее выражение для интересующего нас потока излучения на границе звезды:

H

(0)

=

4

B

(T)

1+Q

1+

b+

3(1+)+2b

.

(10.51)

Отсюда вытекает, что

r

=

1+Q

•

b

+

•

3

+2

.

1+

1

+

3(1+

)+2b

3

(10.52)

Полученная формула для r является обобщением формулы (10.37) на случай наличия флуоресценции.

Для того чтобы пользоваться формулой (10.52), надо определить величину . Как уже сказано, она равна отношению числа ионизаций из второго состояния к сумме числа ионизаций и числа спонтанных переходов из этого состояния. При помощи эйнштейновских коэффициентов переходов (см. § 8) величина представляется в виде

=

B

B+A

.

(10.53)

В этой формуле

B

=

c

k

₂

d

h

,

(10.54)

где — частота ионизации из второго состояния, k₂ — коэффициент поглощения за границей второй серии.

Для грубой оценки величины можно поступить так. Будем считать, что величина B действительно является произведением плотности излучения непосредственно за границей второй серии на эйнштейновский коэффициент перехода [определённый в согласии с формулой (10.54)]. Тогда, представляя и A в виде

=

,

exp

h

– 1

kT

(10.55)

A

=

g

g

B

(10.56)

где

_ik

=

8h_i^3k

c^3

,

(10.57)

и принимая приближённо gg, , BB, получаем

exp

–

h

kT

.

(10.58)

Оценка величины по формуле (10.58)

для атомов с потенциалом ионизации из возбуждённого состояния около 3 эВ (например, для Na I и Са I) при температуре Солнца даёт 10^3. Вычисления по формулам (10.53) и (10.54) приводят к значениям такого же порядка (=0,0015 для линий D и D натрия и =0,0004 для линии 4227 Са I).

Формулу (10.52) для r и сделанные оценки величины мы используем ниже (в § 11) при обсуждении вопроса о центральных интенсивностях линий поглощения.

4. Точное решение задачи.

Рассматриваемую нами задачу об определении профилей линий поглощения в звёздных спектрах при сделанных выше предположениях можно решить точно. Для получения такого решения мы применим способ, изложенный в § 3.

Уравнение переноса излучения мы возьмём в форме (10.21), а коэффициент излучения зададим уравнением (10.43), т.е. примем во внимание флуоресценцию. Указанные уравнения можно переписать в виде

cos 

dI

dt

=

I

–

S

,

(10.59)

где dt=-(+) dr и

S

=

(1-)

1+

I

d

4

+

1+Q

1+

B

(T)

.

(10.60)

Функцию B(T), как и выше, представим формулой (9.15). Переходя в ней от к t, имеем

B

(T)

=

B

(T)

1+

1+

(10.61)

где

=

.

Решая уравнение (10.59) относительно I и подставляя найденное выражение I через S в уравнение (10.60) (т.е. поступая так же, как в § 2 при получении уравнения Милна), мы приходим к следующему интегральному уравнению для определения функции S(t):

S

(t

)

=

2

0

E|t

– t

'|

S

(t

')

dt

'

+

+

1+Q

1+

B

(T)

,

(10.62)

где обозначено